Curva suave de género $1$ en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\times \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ .

Question

Esta pregunta proviene de Apuntes de Geometría Algebraica de Gathmann :

Demostrar que $$\{((x_0:x_1),(y_0:y_1)): (x_0^2+x_1^2)(y_0^2+y_1^2)=x_0x_1y_0y_1\}\subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\times \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$$ es una curva suave de género $1$ .

El autor ha hablado brevemente del concepto de género en esta sección sin asumir muchos conocimientos en topología. Una proposición decía que el género de una curva suave de grado $d$ en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ es $\binom{d-1}{2}$ .

Entonces, en un ejercicio demostré que el género aritmético ( $(-1)^{\dim X}\cdot (\chi_X(0)-1)$ ) de una curva suave en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ coincide con el género geométrico, donde $\chi_X$ es el polinomio de Hilbert de la variedad proyectiva $X$ . El autor afirmó entonces que esto se puede generalizar a cualquier curva proyectiva suave sobre $\mathbb{C}$ .

Así que creo que debería usar esa fórmula para este ejercicio. La suavidad se puede demostrar por la incrustación de Segre. Ahora la fórmula dice que el género es $$1-\chi_X(0).$$ Y $\chi_X(d)=\binom{3+d}{3}-\binom{3+d-4}{3}$ . Pero no puedo conseguir $1$ . Debo haber cometido algún error al calcular $\chi_X(d)$ . Pero no pude averiguar dónde.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizando la incrustación de Segre $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^3$ dado por $(x_0:x_1)\times(y_0:y_1) \mapsto (x_0y_0,x_0y_1,x_1y_0,x_1y_1)$ podemos reescribir la curva como una intersección de dos hipersuperficies en $\mathbb P^3$ . Explícitamente, estas hipersuperficies serán $xw=yz$ y $x^2+y^2+z^2+w^2=xw$ . Ambas son cuádricas, por lo que tenemos una resolución libre de $\mathscr O_X$ ( $X$ es la curva): $$ 0 \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-4) \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-2)^2 \to \mathscr O_{\mathbb P^3} \to \mathscr O_X \to 0 $$

Torciendo por $d >>0 $ obtenemos $$ 0 \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-4+d) \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-2+d)^2 \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(d) \to \mathscr O_X(d) \to 0 $$ Por aditividad de las características de Euler, el polinomio de Hilbert de $X$ se da como la suma alternada $$ \binom{3+d}{3}-2\binom{3+d-2}{3}+\binom{3+d-4}{3}=4d. $$ Poniendo $d=0$ da $g=1$ por su fórmula.

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Esta es otra forma de calcular el género, utilizando la fórmula de Hurwitz: Sea $X$ ser la curva de nuevo, pensada para sentarse dentro $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1$ . A continuación, considere la proyección a $\mathbb P^1$ Esto da una $2:1$ mapa a $\mathbb P^1$ y por la fórmula de Hurwitz tenemos $$ 2g-2=2(0-2) + \deg R, $$ donde $\deg R$ es el grado del divisor de ramificación, es decir, grado de la ecuación definitoria de los puntos de $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1$ donde el mapa no es $2:1$ . Se puede calcular que este grado es $4$ (por la fórmula abc). Por lo tanto, $2g-2=-4+4$ lo que implica que $g=1$ .