La pregunta ¿qué-es-el-óptimo ángulo de proyección-cuando-tirando-a-piedra-fuera de un acantilado se le preguntó y respondió a un tiempo. Este tiene mucho más limpio respuesta. Ahora usted está en una pendiente uniforme, una línea a través del origen que no es horizontal, y usted quiere lanzar una piedra lo más lejos posible. Como una función del ángulo de la pendiente, ¿qué ángulo debe tirar? Habitual supuestos: uniforme de la gravedad, no hay fricción.
Respuestas
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Me sorprende que nadie parece haber respondido a esto.
Llego $$\pi/4 + \alpha/2$$.
Si la línea está dada por $y = x \tan \alpha$, $\alpha$ aguda y tiramos desde el origen en un ángulo de $\theta$ desde el eje x a una velocidad $1$, entonces tenemos que el proyectil satisface, suponiendo que la gravedad $g=2$ (en unidades apropiadas)
$\displaystyle y = t\sin\theta - t^2$, $\displaystyle x = t\cos \theta$
La hora a la que se cruza la línea de nuevo está dado por
$\displaystyle t\sin\theta - t^2 = t \tan\alpha \cos \theta$ , por lo que
$\displaystyle t = \sin \theta - \tan \alpha \cos \theta$
Es suficiente para maximizar la distancia horizontal recorrida por el proyectil, el cual es dado por
$\displaystyle \cos \theta (\sin \theta - \tan \alpha \cos \theta)$
Con un poco de manipulación, tenemos que maximizar
$\displaystyle \sin(2\theta - \alpha)$
lo que da el resultado.
theog
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Cuando la solución es tan ordenado, me siento como que debería tener un alto nivel de explicación "del libro" el que la hace inmediatamente obvio. Lamentablemente, yo no era capaz de encontrar uno, pero voy a postear lo que me hizo llegar en la esperanza de que podría inspirar a alguien más.
Imaginar el disparo de proyectiles de todos los ángulos y desde el origen. Asumir la unidad de la velocidad y la gravedad $g = 2$, como en Morón de la respuesta. Considere la posibilidad de un marco de referencia que comienza en el origen y cae libremente. No hay gravedad en este marco de referencia, de modo que todos los proyectiles expandir radialmente hacia afuera formando un cono, $$x^2 + y^2 = t^{2}.$$ Sin embargo, el suelo ya no es dado por $y = x \tan\alpha$ sino más bien por $$y = x\tan\alpha + t^{2},$$ que es un cilindro parabólico. Los proyectiles de golpear el suelo en los puntos donde el cono y el cilindro parabólico se cruzan. Restando las dos ecuaciones, encontramos que esta intersección satisface $$\left(x^2 + x\tan\alpha\right) + \left(y^2 - y\right) = 0,$$ es decir, en la $xy$ plano de los proyectos de ti en un círculo. En física motivos, uno puede ver que la circunferencia pasa por el origen, y es tangente a la línea de $y = x\tan\alpha$ no. El proyectil que llega al último corresponde al punto con el mayor $x$-coordinar, y el ángulo del proyectil es simplemente el ángulo de la recta que une ese punto con el origen (porque los proyectiles sólo se mueven radialmente hacia afuera en este marco de referencia). Os animo a dibujar un poco diagrama y ver que esta línea biseca el ángulo entre la vertical, en $\pi/2$, y en el suelo, en $\alpha$.
