Ordinales de límite indomables

Question

Un límite ordinal $\gamma>0$ se dice que es indescomponible iff $\nexists\alpha,\beta

(1) $\gamma$ es indescomponible.

(2) $\alpha+\gamma=\gamma$ $\forall\alpha

(3) $\gamma=\omega^\alpha$ $\alpha\in\mathrm{ON}$.

He podido conseguir $(1)\implies(2)$ y $(3)\implies(1)$, pero no tienen nada más que rascar trabajo $(2)\implies(3)$. Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Supongamos que $\gamma$ no es un poder de $\omega$. Que $A={\alpha\le\gamma:\alpha=\omega^\beta\text{ for some }\beta\in\mathbf{ON}}$ y que $B={\beta\in\mathbf{ON}:\omega^\beta\in A}$; a continuación, $\sup A=\omega^{\sup B}$, que $\sup A

$$\omega^{\beta+1}=\omega^\beta\cdot\omega=\alpha\cdot\omega=\sup_{n\in\omega}\alpha\cdot n\le\gamma

una contradicción evidente.

Answer 2

Es fácil mostrar $(1)\implies(3)$ y $(2)\implies(1)$ y deducir las consecuencias finales. Porque ambos son realmente evidentes.

Para ver el $(1)\implies(3)$ Nota: que si $\gamma$ es indescomponible entonces su forma normal de Cantor tiene que tener solamente un término, tiene que ser $\omega^\alpha$ $\alpha$.

Para ver que $(2)\implies(1)$ tenga en cuenta que si $\alpha,\beta