polinomio de quinto grado

Question

Demuestre que la mayor cantidad de raíces reales de la ecuación$ x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$ cuyos coeficientes son reales, es tres si$2a_1^2-5a_2<0.$

Mi intento es:

Como los coeficientes son reales, las raíces complejas aparecerán en pares. Son posibles una, tres o cinco raíces reales. No sé cuál es la relación entre el número de raíces reales y los coeficientes. ¿Puede alguien guiarme? Estoy cofundido.

Answer 1

Suponiendo que todas las raíces$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_5$ de su polinomio son reales,$$ (\xi_1+\xi_2+\xi_3+\xi_4+\xi_5)^2 \leq 5(\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2+\xi_4^2+\xi_5^2) \tag{1}$ $ debe contener: es la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por otro lado, según el teorema de Viète, el LHS de$(1)$ es$a_1^2$, mientras que el RHS de$(1)$ es$5(a_1^2-2a_2)$. Entonces, si todas las raíces del polinomio son reales,$$ 2a_1^2 \geq 5a_2 \tag{2}$ $ debe contenerse. Tenemos que$(2)$ no se cumple, por lo tanto, las raíces reales de nuestro quintic polinomio son como máximo$3$ (ya que las raíces complejas vienen en pares conjugados).

Answer 2

Ya que no son raíces reales se producen en el conjugado de a pares, el número de bienes raíces puede ser $1$, $3$ o $5$. Supongamos, por el contrario, que todas las raíces son reales, yo.e, $5$ bienes raíces.

Deje $\{\alpha_{i}\}_{i=1}^5$ ser las raíces de la ecuación.

Por Vieta de la Fórmula,

$ \displaystyle -a_1= \sum_{i=1}^5 \alpha_{i} $ $a_2 = \displaystyle \sum_{i < j} \alpha_{i}\alpha_{j}$

Ahora, con la condición dada, tenemos,

$2\left(\displaystyle\sum_{i=1}^5 \alpha_{i}\right)^2 - 5\displaystyle\sum_{i < j} \alpha_{i}\alpha_{j} < 0$

$\implies 2\displaystyle \sum_{i=1}^5 \alpha^2_{i} < \displaystyle\sum_{i < j} \alpha_{i}\alpha_{j}$

Sin embargo, por el poder-decir la desigualdad $$\displaystyle \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 \alpha^2_{i} \geq \left(\displaystyle \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 \alpha_{i}\right)^2$$

$\implies 2\displaystyle \sum_{i=1}^5 \alpha^2_{i} \geq \displaystyle\sum_{i < j} \alpha_{i}\alpha_{j}$

Contradicción.

$\therefore$ El mayor número de raíces reales es $3$

Answer 3

Aplicar la transformación de Tschirnhaus $x=y-\frac{a_1}{5}$, que va a cambiar la ecuación a $$y^5+py^3+qy^2+ry+s=0$$ Su condición es, precisamente,$p>0$. Aplicamos Descartes' regla de los signos para los diversos casos de los signos de $q,r,s$. Positivo raíces, tenemos el patrón de $+,q,r,s$. Para el negativo raíces, tenemos el patrón de $-,q,-r,s$. Exactamente uno de $+,q$ $-,q$ tiene un cambio de signo. Exactamente uno de $q,-r$ $q,r$ tiene un cambio de signo. Exactamente uno de $-r,s$ $r,s$ tiene un cambio de signo. Por lo tanto, hay sólo tres raíces reales (siempre $q,r,s$ son todos distintos de cero). Yo deje los casos de cero entre $q,r,s$.

Answer 4

Un enfoque diferente de la de los presentados anteriormente, utilizando el cálculo.

Suponga que un polinomio de esta forma tiene 5 raíces reales. Si los cinco son distintos, entonces la media-teorema del valor garantiza un cero de la derivada en cada intervalo de tiempo entre las raíces. Que hace que la derivada de un polinomio de cuarto grado con cuatro (distintas) de bienes raíces. Tomar dos derivados, lo que deja una ecuación cuadrática con dos (de nuevo distinta) raíces reales. Esta tercera derivada es $60x^2 + 24 a_1 x + 6 a_2$. Para tener dos raíces reales, su discriminante debe ser positivo, por lo tanto $24^2 a_1^2-4(60)(6)a_2 > 0$ o, de manera equivalente, $2 a_1^2 - 5a_2 > 0$, lo cual viola la condición de $2a_1^2 - 5a_2 < 0$.

Si se distinguen cuatro raíces reales, entonces uno de ellos es una doble raíz. La media del valor teorema garantiza la raíz de la derivada en cada uno de los tres intervalos; también hay una raíz de la derivada en el mismo punto que el doble de la raíz del polinomio original. Que deja a cuatro distintas raíces de la primera derivada, y el resto sigue como antes.

Por lo tanto, la suposición de que hay más de 3 raíces reales conduce a una contradicción, por lo que debe haber tres o menos de tres raíces reales. Q. E. D.

Answer 5

Permita que$$p(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$$ First Let me Explain for $ p (x)$ having only one Real root, which means it should be Monotone Increasing(No Local Max or Local Minima).That is it's Derivative $ p '(x)$ must not have any Real roots since $ p' (x) $ esté por encima del eje X. Es decir

$$p'(x)=5x^4+4a_1x^3+3a_2x^2+2a_3x+a_4 \gt 0$$ and since the graph of $ p '(x)$ Obvioulsly should have Local Minima(Since its graph resembles the graph of Vertical parabola), Then $ p' '(x) $ debería tener exactamente una raíz real, lo que significa

$p''(x)$ debe ser Monotone Increasing y por lo tanto$p'''(x) \gt 0$ Eso es

$$p'''(x)=60x^2+24a_1x+6a_2 \gt 0$$ $ \ implica $

$$10x^2+4a_1x+a_2 \gt 0$$ and from theory of Quadratic Equations if $ ax ^ 2 + bx + c$ and $ a $ tiene el mismo signo, entonces su Discriminante debe ser Negativo.

Por lo tanto

$$16a_1^2-40a_2 \lt 0$$ $ \ implica $

$$2a_1^2-5a_2 \lt 0$$. The same analysis can be applied for $ p (x) $ tiene tres raíces reales.