Hay varias formas de concebir el proceso. Está utilizando la regla de sustitución, una versión de la cual dice $$\int g'(x)h'(g(x))\,dx = h(g(x))+ C. (\ast)$$ Podemos comprobar fácilmente que el resultado es correcto. Basta con diferenciar la expresión del lado derecho. Por la regla de la cadena, se obtiene $g'(x)h'(g(x))$ . Por tanto, la regla de sustitución $(\ast)$ no es más que una versión reescrita de la Regla de la Cadena.
Ahora mira la expresión que intentas integrar. Si dejas que $g(x)=8-x^3$ y $h'(u)=u^5$ entonces lo que intentas integrar se parece mucho a $(\ast)$ . La única diferencia es que $g'(x)=-3x^2$ y en nuestra integral tenemos $x^2$ .
Así que nos gustaría tener $-3x^2$ en lugar de $x^2$ . Fácil de hacer, los dos difieren sólo por la multiplicación por una constante. Así que sustituye $x^2$ por $-3x^2$ . Has multiplicado tu integral por $-3$ . Para asegurarnos de que no hemos hecho nada a la integral, también dividir por $-3$ . Así llegamos a la integral $$\frac{1}{-3}\int (-3x^2)(8-x^3)^5\,dx.$$
Ahora dejemos que $g(x)=8-x^3$ y $h'(u)=u^5$ . Entonces $h(u)=\dfrac{u^6}{6}$ . Aplicar $(\ast)$ . Obtenemos $$-\frac{1}{3} h(g(x))=-\frac{1}{3}\frac{(8-x^3)^6}{6}.$$ Por último, no olvides añadir la constante arbitraria de integración.
Una versión equivalente de $(\ast)$ que es más útil en general es $$\int g'(x)f(g(x))\,dx =\int f(u)\,du \qquad (\ast\ast)$$ donde $u=g(x)$ . La evaluación es muy parecida a la anterior. Sea $u=g(x)$ y $f(u)=u^5$ . Entonces $g'(x)=-3x^2$ por lo que queremos $$-\frac{1}{3}\int g'(x)f(g(x)\,dx.$$
Por $(\ast\ast)$ esto es $$-\frac{1}{3}\int f(u)du.$$ Pero $$\int f(u)\,du = \int u^5\,du,$$ y ahora las cosas son más sencillas.
Versión abreviada: He aquí una abreviatura muy utilizada para hacer esencialmente el mismo cálculo. Sea $u=8-x^3$ . Queremos expresarlo todo en términos de $u$ de modo que $x$ desaparece por completo.
Tenemos $\dfrac{du}{dx}=-3x^2$ "y por lo tanto" $du =(-3x^2)dx$ . De ello se deduce que $x^2\,dx=-\frac{1}{3}du$ . "So" $$\int x^2(8-x^3)^5\,dx=\int -\frac{1}{3}u^5 du=-\frac{1}{18}u^6+C.$$ Por último, sustituya $u$ por $8-x^3$ .
La manipulación anterior no tendrá (ni debería tener) pleno sentido intelectual para usted. Pero en realidad no es más que una versión hábilmente disfrazada de $(\ast)$ . Después de un tiempo, si te acostumbras, verás que el proceso de sustitución anterior produce la respuesta correcta casi mecánicamente.
Importante: Recuerda que después de hallar una integral, puedes comprobar fácilmente que tu respuesta es correcta, diferenciando. Al integrar, es muy fácil equivocarse por un signo menos o, más generalmente, por un factor constante. La diferenciación suele revelar este tipo de errores.
Una mnemotecnia: En $8-x^3$ es un poco feo. Así que sustitúyalo por $g(x)$ o mejor por $u$ (que, por supuesto, significa "feo"). Nos gustaría que nuestra integral tuviera $g'(x)$ Eso es, $\dfrac{du}{dx}$ sentado en su interior.
Bueno, la derivada de $u$ es sentado en nuestra integral. Vale, no del todo, la derivada de $u$ es $-3x^2$ y lo que tenemos en nuestra integral es $x^2$ . Fácil solución, multiplicamos y dividimos por $-3$ .
