Límite con Arctan

Question

Este es un límite que he tratado de responder durante un tiempo:

$$\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{-2x\arctan{x} + \dfrac{\pi}{2}}{x-1}$$

He probado todos los trucos que el maestro ha enseñado nosotros y todavía nada, que incluso trató de factor superior $(x-1)$ pero todavía nada. ¿Puedo obtener ayuda sobre cómo evaluar este límite por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta que si escribimos $f(x) = -2x\arctan(x)$, entonces su límite es la definición formal de $f'(1)$.

Por lo tanto, se puede calcular el límite calculando eso derivado usando estándar resultados: $\displaystyle f'(x) = -2\arctan(x) - \frac{2x}{1+x^2}$, así...

Answer 2

en los casos que tienen (0/0) o (inf/inf) puede utilizar (regla de Hopital):

así que:

y esto fácilmente se puede calcular.