Solución explícita para la ecuación

Question

La afirmación es que esta ecuación tiene una solución explícita.

ps

¿Qué se puede hacer para encontrar esta solución? Transformación de Fourier o transformaciones similares? Encuentra el operador semigroup?

Answer 1

Esto no es totalmente riguroso. La transformada de Fourier de $x\mapsto \frac1{x^2}$$\xi\mapsto -\sqrt{\frac \pi2}|\xi|$. (Aquí estoy usando $\hat f(w) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{i w t}\,dt$.) Para darse cuenta de que en su fórmula deberá restar el $c(x,t)$ dentro de la integral para evitar un inviable la singularidad en el origen, se puede ver que la transformada de Fourier de la ecuación es $$\frac{\partial}{\partial t} \hat c(\xi,t) = -a \frac1{\sqrt{2\pi}} |\xi| \hat c(\xi,t) .$$ La solución a esto es $$\hat c(\xi,t) = \exp\left(-a t \frac1{\sqrt{2\pi}} |\xi|\right) \hat c(\xi,0) .$$ Así que tomando la inversa de la transformada de Fourier, se obtiene la convolución $$c(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \frac{2at}{a^2t^2 + 2\pi (y-x)^2} c(y,t) \, dy .$$

Así que, para hacer semi-riguroso, necesitamos demostrar que la inversa de la transformada de Fourier de $\xi \mapsto -|\xi|$ es la distribución de $\mu$ que actúa sobre las funciones de prueba de $\phi$ por $$\langle \mu,\phi\rangle = \sqrt{\frac 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x) - \phi(0)}{x^2} \, dx.$$ Ahora, $$-|\xi| = \lim_{a\to 0^+} \frac{e^{-a|\xi|} -1}a.$$ And the inverse Fourier transforms of $\xi\mapsto e^{-a|\xi|}$ and $1$ are $x\mapsto \sqrt{\frac 2\pi} \frac{a^2+x^2}$ and $\frac1{\sqrt{2\pi}} \delta$ respectively. So the inverse Fourier transform of $\xi \mapsto -|\xi|$ acting on the test function $\phi$ is the limit as $\to 0^+$ de $$\frac1a \left( \sqrt{\frac 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{a^2+x^2} \phi(x) \, dx \frac1{\sqrt{2\pi}} \phi(0) \right) = \sqrt{\frac 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac {\phi(x) - \phi(0)}{a^2+x^2} \, dx ,$$ que converge a la cantidad deseada.

Por último, cabe señalar que si $a = \sqrt{2\pi}$, entonces la fórmula para $c(x,t)$ es de convolución junto al núcleo de Poisson, y $c(x,t)$ es un armónico de la función de $x$$t$. Por lo que la distribución de $\mu$ es en realidad la raíz cuadrada negativa de $-\frac{\partial^2}{\partial x^2}$.