Número de puntos de inflexión de $\log f(x)$ vs. $f(x)$

Question

Me pregunto, ¿hay alguna (general) teorema o lema (que yo no soy consciente de que iba a estado algo sobre el número de los puntos de inflexión de un logaritmo de una función positiva, si conocemos el número de puntos de inflexión de la función (o al revés)?

En otras palabras, si sabemos que una función positiva $f(x)$ $n$ puntos de inflexión, ¿se puede decir algo sobre el número de los puntos de inflexión de $\log f(x)$? También en el otro sentido. Si sabemos que $\log f(x)$ $m$ puntos de inflexión, ¿se puede decir algo sobre el número de los puntos de inflexión de $f(x)$? Gracias.

Answer 1

En general, no hay ninguna relación.

Por ejemplo, tome $f(x) = e^{x+(\sin x)/10}$. Uno puede comprobar que $f$ no tiene puntos de inflexión, sino $\log f$ tiene una infinidad de puntos de inflexión.

Por otro lado, vamos a $h$ ser una solución a la ecuación diferencial $h'(x) = (-1 + (\sin x)/2) h(x)^2$ (con decir $h(0)=1$, en el decir $x\in[0,\infty)$). Deje $g(x)$ ser una antiderivada de $h(x)$, y deje $f(x) = e^{g(x)}$. Los puntos de inflexión de $f$ se producen, precisamente, donde $g''(x)+g'(x)^2=0$ y por lo tanto donde $h'(x) = -h(x)^2$, los cuales son infinitamente muchos múltiplos de $\pi$. Sin embargo, uno puede mostrar que $h$ es positiva y decreciente en $[0,\infty)$; por lo tanto, $g''(x)=h'(x)$ nunca es cero, por lo tanto $g=\log f$ no tiene puntos de inflexión.

Answer 2

Horizontal inflexiones de la curva original en una correspondencia uno a uno horizontal, con inflexiones de la curva logarítmica. Aparte de eso, no hay ninguna conexión.

Considere la posibilidad de los regulares de la curva parametrizada por $\gamma(t) = (t,x(t))$. La curva tiene una inflexión si y sólo si las dos primeras derivadas son linealmente dependientes, es decir,$\dot{\gamma}\parallel \ddot{\gamma}$. En otras palabras: $\ddot{x}(t)=0$.

A continuación, considere la curva de $\alpha(t)=(t,\ln x(t))$. Tenemos $\dot{\alpha}(t) = (1,\dot{x}/x)$ y $$\ddot{\alpha}(t) = \left(0,\frac{x\ddot{x}-\dot{x}^2}{x^2}\right)$$.

Suponiendo que $x>0$ $\dot{\alpha}\parallel \ddot{\alpha}$ si, y sólo si, $x\ddot{x}-\dot{x}^2=0$. Si $\gamma(t_0)$ es una de inflexión, a continuación, nosotros también necesitamos $\dot{x}(t_0)=0$ $\alpha(t_0)$ es una de inflexión. Si $\alpha(t_0)$ es una de inflexión, a continuación, necesitamos $\dot{x}(t_0)=0$ $\gamma(t_0)$ es una de inflexión.

Por lo tanto, para $x>0$ si $\dot{x}=0$ $\gamma(t_0)$ es una de inflexión si, y sólo si, $\alpha(t_0)$ es una de inflexión.

El registro de la curva de $\alpha$ es libre de tener inflexiones cuando el original $\gamma$ no: simplemente necesitamos $\dot{x}\neq 0$ en dichos puntos. Por el contrario, la curva original $\gamma$ es libre de tener inflexiones cuando el registro de la curva de $\alpha$ no: sólo tenemos $\dot{x} \neq 0$ en ese punto.

Answer 3

Escribir las dos derivadas sucesivas (suponiendo que $f\in\mathcal C^2$): $$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}(\log\circ f)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{f'}{f}=\frac{f''f-(f')^2}{f^2}$ $ queremos ser cero en algunos $x\in\mathbb R$: $$f''(x)f(x)-(f'(x))^2=0$ $

Así podemos ver que todos los puntos de inflexión (fijo) original de $f$ restringido a $(0,\infty)$ siguen siendo puntos de inflexión, pero no hay ninguna forma clara de saber si hay más, sin información adicional acerca de $f$. Observe que podemos ha perdido los puntos de inflexión que estaban en el dominio negativo del $f$. No podemos concluir nada si $f'(x)\not = 0$.

Answer 4

Ver aquí\begin{eqnarray}x^{12} - 1 & = & (x-1)(x^2+1)(x^2-x+1)\; (x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)\\ & = & (x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x - 1)(x^7 + 2x^6 + x^5 - x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1)\endEn realidad, los puntos de inflexión de una función de $y=f(x)$ significa que,en función de las $y=f(x)$ tiene su 2º orden derivada es igual a cero. o podemos decir que, matemáticamente, dónde o para qué valores de a $x$ la función tiene su 2º orden derivado = 0. O $f '' ( x ) = 0 $.

los valores de $x$ para el cual la ecuación de $f'' (x) = 0$ está satisfecho podemos decir que los puntos en el dominio de la función,se tiene los puntos de inflexiones o$f '' (x)$$0$.

A ver donde la función tiene su 2º orden derivado $f '' (x) = 0$ , en que los valores de $x$ la función de $y = f(x)$ está cambiando su comportamiento de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Matemáticamente podemos decir si una función $y = f (x)$ tiene su $f '' (x)$ (de 2º orden derivado) menos de $0$ o $f " (x) < 0$ o su $f '' (x)$ valor es negativo en una cierta escala de $x$, se puede decir que la función es cóncava hacia abajo o si dibujamos la curva de $y = f(x)$ en un sistema de coordenadas vamos a tener una curva de sólo tener un cóncava hacia abajo dela naturaleza. Y del mismo modo, si la función tiene su $f'' (x ) > 0$ en cierta escala de $x$, entonces decimos que la función es cóncava hacia arriba características, y si dibujamos la gráfica de $y= f(x)$ vamos a tener un cóncava hacia arriba de la imagen de la función $y = f(x)$.

por favor, visite el enlace : coz no tengo el software para cargar respuesta con pic. El enlace es el gráfico de una función simple para implementar los conceptos que he dicho anteriormente. El link es una imagen de un gráfico de $y = x^3$. Usted puede ir a través del enlace o puede hacer una búsqueda en google de ella para un mejor entendimiento, junto con mis conceptos....

gráfico

Ver aquí, en el punto de $x=0$ $f ''( x )$ de la función de $f(x) = x^3$ que es $f'' (x) = 3(x^2)$ es igual a cero. Ver$f '' (x)$$x=0$$f'' (0) = 3(0^2) = 0$.

Así que usted puede ver que hay es el punto de inflexión en el $x=0$ en la curva de la función de $y = f(x)$. y a ver si $x>0$ $f'' (x)= 3x^2$ es también mayor que $0$. Por lo que es cóncava hacia arriba para $x>0$ y también es cierto para $x<0$ y es cóncava hacia abajo al $x<0$.

Pero ver aquí el registro de $f(x)$ será: consideremos $g(x) = \log f(x) = \log {x^3} = 3\log x$.

Ahora, si usted tiene el segundo orden derivados de $\log {x^3}$ o $3\log x$ , tendrás $g'' (x) = \frac{- 3 }{ x^2}$.

consulte la función $g(x) = \log f(x)$ no tiene ningún tipo de puntos donde el segundo orden de la derivada es 0. Así, No hay puntos de inflexiones de la función $g(x) = \log f(x)$.

Yo estaba tratando de hacer que su concepto sobre los puntos de inflexiones y ver que no hay tal dependencia directa entre el número de puntos de inflexión de la función $f(x)$ y $\log f(x)$.

la función de $\log f(x)$ tendrá el punto de inflexión en el que los valores de $x$ para que la ecuación: $ \frac{( f(x) f " (x) - (f ' (x))^2 )}{ ((f(x))^2) } = 0$ tiene una solución para $x$. O simplemente se puede decir que si la ecuación :
$$ f(x) f ''(x) - (f ' (x) )^2 = 0$$ tiene alguna solución para $x$ o no.

Si esta ecuación tiene solución, a continuación, la función de $g(x) = \log (f(x))$ tendrá los puntos de inflexión. Y también se puede dibujar la curva de $y = f(x)$ o $g(x) = \log f(x)$ mediante la aplicación de la 2º orden derivados de los criterios.

Espero que la respuesta te ayudará un poco.La mejor de las suertes.