¿Es el conjunto de números reales un grupo bajo la operación de multiplicación?

Question

Pregunta: ¿Es el conjunto de números reales un grupo bajo la operación de multiplicación?

Mi profesor respondió diciendo: No. No hay un elemento identidad (1*0=0).

Sin embargo, ¿no es el elemento identidad el 1, quiso decir que no hay inverso porque el número 0 no tiene inverso? ¿O mi profesor intentó decir algo más? ¿O tal vez estoy simplemente malinterpretando lo que escribió?

Answer 1

La colección de números reales positivos (e incluso números reales sin cero) es un grupo. Sin embargo, una vez que se agrega el cero, el conjunto resultante ya no es un grupo por exactamente la razón que estás sugiriendo.

Una cosa interesante sobre los números reales positivos, $(\mathbb{R}_+,\cdot)$, es que son isomorfos a los reales con adición, $(\mathbb{R},+)$. Esto se puede ver a través del logaritmo, $$\log(a\cdot b) = \log(a) + \log(b).$$ También hay que tener en cuenta que $\log(1)=0$, es decir, que el logaritmo identifica los elementos de identidad entre los dos grupos diferentes.

Answer 2

El conjunto $R$ dotado con la operación [ . ] no puede considerarse un grupo, ya que al considerarlo un grupo significa que cada elemento en $R$ es invertible con respecto a [ . ]. Ahora, al considerar ($R$, . ) un grupo, todos sabemos que el inverso de un elemento digamos $x$ perteneciente a $R$ es $\frac{1}{x}$ pero dado que 0 pertenece al grupo $R$, entonces $\frac{1}{0}$ existe en $R$ (Contradicción). Mientras tanto, puedes considerar (R*,.) un grupo.

Answer 3

Para todos los elementos no nulos, existe su inverso multiplicativo en $\mathbb{R}$, es decir, $a*(a)^{-1}=1=(a)^{-1}*a.
Pero para el elemento $0$ en $\mathbb R$, no hay tal elemento que exista en $\mathbb R$ tal que $0*b$ (digamos) $=1=b*0.
Por lo tanto, $0$ no tiene su inverso multiplicativo en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $\mathbb{R}$ no es un grupo respecto a "$*$".