Máximo valor absoluto de los coeficientes del polinomios

Question

Supongamos que tenemos un polinomio de coeficientes enteros

$$p = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n, p_k \in \mathbb{Z}$$

Ahora definir $M(p)$ como el máximo valor absoluto de los coeficientes de $p$, es decir

$$M(p) = \max {|p_k| \: |\: 0 \leq k \leq n}$$

¿Es cierto que para cualquier polinomio factor $q$ $p$, $M(q) \leq M(p)$? No estoy seguro si esto es obvio y solo me falta algo, o si mi tren de pensamiento es completamente apagado...

Answer 1

No. Hay un ejemplo famoso de un factor de $x^{105}-1$

\begin{align} \Phi_{105}(x) = & \; x^{48} + x^{47} + x^{46} - x^{43} - x^{42} - 2 x^{41} - x^{40} - x^{39} + x^{36} + x^{35} + x^{34} \ & {} + x^{33} + x^{32} + x^{31} - x^{28} - x^{26} - x^{24} - x^{22} - x^{20} + x^{17} + x^{16} + x^{15} \ & {} + x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^9 - x^8 - 2 x^7 - x^6 - x^5 + x^2 + x + 1 \end {Alinee el}

Ver ciclotómicas polinomios

También $x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2$ tiene el % de factorización $(x^2+\sqrt 2 x + 1)(x^2-\sqrt 2 x +1)$que no es integral, pero sugieren que pueden existir contraejemplos de grado inferiores.

Answer 2

Esta pregunta ha sido estudiado un poco, porque en realidad es de relevancia en la práctica de álgebra computacional. El apretado conoce límites son sorprendentemente grandes. Una buena revisión de los Límites de factores en $\mathbb{Z}[x]$, John Abbott, que según su CV ha sido aceptado para su publicación por el Diario de la Computación Simbólica. Su papel también contiene un número de ejemplos y un argumento de por qué los límites que necesariamente debe ser más grande que usted podría esperar.

Cuando escribí esta respuesta no fue otra con un par de pequeños ejemplos, pero ha sido eliminado, por lo tanto, voy a añadir algunos pequeños ejemplos en diferentes categorías de Abbott del papel.

Gran altura se reduce el factor de $x^d-1$: $$\begin{eqnarray}x^{12} - 1 & = & (x-1)(x^2+1)(x^2-x+1)\; (x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)\\ & = & (x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x - 1)(x^7 + 2x^6 + x^5 - x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1)\end{eqnarray}$$

Gran altura irreductible factor del polinomio de altura $1$: $$x^4 + x^3 - x^2 - 1 = (x-1) (x^3 + 2x^2 + x + 1)$$

Gran altura reducible factor del polinomio de altura $1$: $$x^3 + x^2 - x - 1 = (x-1)(x+1)^2 = (x-1)(x^2 + 2x + 1)$$