Problema de geometría cuadrilateral, no podría resolverlo.

Question

Así que, me puse esta pregunta hace un rato y no podía ver cómo resolverlo. El problema de la siguiente manera: "En la siguiente figura, G es el punto medio de CD y yo es el punto medio de GE. SER:EA = 4:1 y CF:FB = 2:5. Encontrar DH:HA."

Alguna idea? Me estoy olvidando de algún truco de la geometría que se requiere para resolver esto? Tengo una relación de 8:5 el uso de un programa de geometría, pero no puede ver cómo probar analíticamente.

Answer 1

Voy a usar una propiedad de la linealidad de la parametrización (sin demostrar nada aquí) que nos permiten deformar la figura de modo que las líneas GE y DA son paralelas, CD y AB son paralelas, y la línea CB está inclinado de manera que la distancia de B a E es 4 veces la de E a A. voy a añadir una línea paralela a la GE y DA que cumple con la línea AB en el punto K. voy a llamar a L la distancia de C a la K , G, E , y D a Una . Las proporciones de las longitudes BK : KE : EA son 3 : 1 : 1 .

Sólo se pueden utilizar proporciones de aquí, que se conservan bajo el tipo de deformación que estamos haciendo. Desde el punto F es $ \ \frac{2}{7} \ $ de la forma de la C a la B , la perpendicular proyecciones hacia abajo a la línea de GE (punto F") y que a la línea DA (punto F') a $ \ \frac{2}{7} L \ $ . La distancia del punto F por encima de la línea de CK es $ \ \frac{2}{7} \ $ de la distancia de B a K o $ \ \frac{2}{7} \ \cdot \ 3 \ = \ \frac{6}{7} \ . $

Nos da ese punto no se encuentra en el punto medio de GE, o al $ \ \frac{1}{2}L \ ; $ la distancia de F" I, a continuación, $ \ \frac{1}{2}L \ - \ \frac{2}{7}L \ = \ \frac{3}{14}L \ . $ Triángulo FIF" es similar al triángulo de la FHF' . La altitud FF" es $ \ \frac{6}{7} \ + \ 1 \ = \ \frac{13}{7} \ , $ y la altitud FF' es $ \ \frac{6}{7} \ + \ 2 \ = \ \frac{20}{7} \ . $ por lo tanto, podemos establecer la proporcionalidad

$$ \ \frac{x}{\frac{20}{7}} \ = \ \frac{\frac{3}{14}L}{\frac{13}{7}} \ , $$

con $ \ x \ $ la distancia de F a H .

Llegamos a la conclusión de que

$$ x \ = \ \frac{20}{7} \ \cdot \ \frac{7}{13} \ \cdot \ \frac{3}{14}L \ = \ \frac{30}{91}L \ .$$

Desde el punto F' se encuentra en $ \ \frac{2}{7}L \ $ , el punto H, se encuentra en $ \ \frac{2}{7}L \ + \ \frac{30}{91}L \ = \ \frac{26 + 30}{91}L \ = \ \frac{56}{91}L \ . $ por lo tanto, la distancia de H a Un es $ \ L \ - \ \frac{56}{91}L \ = \ \frac{91 - 56}{91}L \ = \ \frac{35}{91}L \ , $ que equivale a decir que las longitudes de DH y HA de mentira en la proporción de 56:35 , 8:5 .

[Tuve una variante de debate con la participación de triángulo similar HIH', entonces me di cuenta de que no lo necesitan (pero se va a corroborar el resultado que se encuentra aquí).]

Answer 2

Esta es una geometría de coordenadas enfoque:

Identificar el segmento de la línea de $DA$ con el segmento de la línea de $(0, 0)$ $(1, 0)$en el plano Cartesiano. Escribir el vector $D$$C = (a, b)$, por lo que las coordenadas de a$C$$(a, b)$; escribir el vector $C$$B = (c, d)$, de modo que las coordenadas de a$B$$(a+c, b+d)$. El uso de esta información le permite encontrar las coordenadas de $F$, $I$, $E$, y, finalmente,$H$. Por ejemplo, $F$ debe tener coordinar $\left(\frac{a+2c}{7}, \frac{b+2d}{7}\right)$.

Para su referencia, E ha de coordinar $\left(1+\frac{a+c-1}{5}, \frac{b+d}{5}\right)$, y me ha coordinar $\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}+\frac{a+c-1}{10}, \frac{b}{4}+\frac{b+d}{10}\right)$.

Establecer una línea de ecuación a través de $FI$, y encontrar los $x$intercepto de la línea se le revelan que $H$ tiene una coordenada de $\left(\frac{8}{13}, 0\right)$. Lo que significa que la proporción de $DH:HA = 8:5$.

[Nota: el álgebra para resolver el intercepto en x es bastante desagradable, admito que utiliza WolframAlpha para que: haga Clic en para WolframAlpha del trabajo.]