Fórmula cerrada para algunas series de cotangente

Question

Me las arreglé para calcular algunas series de la cotangente, como por ejemplo $~\displaystyle\sum\limits{{\substack{i=1\10~\nmid~i}}}^{\infty}\frac{\cot\left(\dfrac{9\pi}{10}\cdot i\right)}{i}=-\frac{6\pi}{5},~$y$\displaystyle\sum\limits{{\substack{i=1\11~\nmid~i}}}^{\infty}\frac{\cot\left(\dfrac{4\pi}{11}\cdot i\right)}{i}=\frac{3\pi}{11}.~$ estoy interesado en el caso general

$$S{k,~n}~=~\sum\limits{{\substack{i=1\n~\nmid~i}}}^{\infty}\frac{\cot\left(\dfrac{k\pi}{n}\cdot i\right)}{i}$$

donde $k,~n$ son enteros positivos con $k<n agradables="" algunas="" apreciados.="" cerrada="" forma="" hay="" o="" propiedades="" referencias="" ser="" sobre="" una="" y=""></n>

Answer 1

Esta respuesta es sólo una sugerencia, la fórmula puede simplificarse.

Es dado $ \enspace\displaystyle S{k,n}|{gcd(k,n)=1}=\sum\limits{{\substack{j=1\n~\nmid~j}}}^\infty\frac{1}{j}\cot\left(\frac{k\pi}{n}j\right) \enspace \enspace\displaystyle S{k,n}=\sum\limits_{m=1}^\infty\frac{am}{m}\enspace \enspace\displaystyle a{m+ln}=am:=\cot\left(\frac{k\pi}{n}m\right)\enspace$y$\enspace a{ln}=a_n:=0\enspace $,$\enspace l\in\mathbb{N}_0$.

Uso de $ \enspace\displaystyle E1(x):=\sum\limits{k=1}^\infty \frac{1}{k}e^{i2\pi kx}=i\pi\left(\frac{1}{2}-x\right)-\ln(2\sin(\pi x)) \enspace \enspace 0<x href="https://www.fernuni-hagen.de/analysis/download/bachelorarbeit_aschauer.pdf" rel="nofollow noreferrer" y="">https://www.fernuni-hagen.de/analysis/download/bachelorarbeit_aschauer.pdf, página 4 (2.1),</x>

uno consigue $\enspace\displaystyle bm |{n\nmid m}=\frac{1}{n}\sum\limits_{v=1}^{n-1}a_v e^{-i2\pi \frac{m}{n}v}\enspace$y % adicional$\enspace\displaystyle bn=\frac{1}{n}\sum\limits{v=1}^{n-1}av =0\enspace$y$\enspace\displaystyle \sum\limits{m=1}^\infty\frac{am}{m}=\sum\limits{m=1}^{n-1}b_m E_1\left(\frac{m}{n}\right)\enspace $.

Resultado:

$$S{k,n}=\frac{1}{n}\sum\limits{m=1}^{n-1} \left(i\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{m}{n}\right)-\ln\left(2\sin\frac{m\pi}{n}\right)\right)\sum\limits_{v=1}^{n-1}\cot\left(\frac{k\pi}{n}v\right) e^{-i2\pi \frac{m}{n}v}$$