Construyendo una familia contable de seminorms en un metrizable LCS.

Question

Aquí un poco de contexto antes de mi pregunta.

Deje $\mathbb{V}$ ser un espacio vectorial topológico, que es Hausdorff y de tal manera que su topología generada por algunos arbitraria de la familia de seminorms $\{\rho_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$; esto significa que $\mathbb{V}$ es localmente convexo. Ahora, si $I$ resulta ser contables (o si podemos reducir la familia $\{\rho_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ a un contable a uno, manteniendo la misma topología en $\mathbb{V}$), podemos definir una métrica en $\mathbb{V}$ por $$d(u, v) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2^i} \frac{\rho_i(u - v)}{1 + \rho_i(u - v)},$$ donde $\{\rho_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ es la enumeración de algunos de $\{\rho_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$, por lo que su topología es metrizable. Me han dicho que lo contrario también es cierto, que los lleva a mi pregunta.

PREGUNTA: Vamos a $\mathbb{V}$ ser un espacio vectorial topológico tener un metrizable la topología generada por algunos métrica $d$. Cómo puedo probar que $\mathbb{V}$ admite una contables de la familia de seminorms la generación de su topología? También, necesito para imponer la condición de que $d$ es la traducción invariante (ya que esto sucede en la anterior construcción)?

Gracias.

Answer 1

Primero mostramos el siguiente resultado:

Deje $X$ localmente convexo espacio vectorial topológico con una contables de la familia del barrio de $0$. Podemos encontrar una métrica $d$ compatible con la topología de $X$ e invariante por traslación.

Croquis de la prueba: podemos tomar una base de un vecindarios $\{V_n\}$ de manera tal que cada una de las $V_n$ es convexo y para todos $n$: $V_{n+1}+V_{n+1}+V_{n+1}+V_{n+1}\subset V_n$. Deje $D$ el conjunto de los números racionales de la forma $r=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n(r)2^{-n}$ donde$c_i(r)\in \{0,1\}$$c_i=0$, excepto para un número finito de números de índice $i$. Ponemos a $A(r)=X$ si $r\geq 1$ $r\in D$ ponemos $A(r):=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n(r)V_n$, $f(x):=\inf\{r\in D: x\in A(r)\}$ para$x\in X$$d(x,y)=f(x-y)$.

Ahora ponemos $\rho_n(x):=\sup\{\alpha>0, \alpha x\in B(0,n^{-1})\}$. Desde las bolas $B(0,n^{-1})$ son convexas, $\rho_n$ es un seminorm. Dado que la topología dada por estos seminomrs es la misma que la topología dada por $d$, hemos terminado.