Me encontré con un resultado en la página ¿Teoremas implícitos en el lema de Yoneda? que decía que el Lemma de Yoneda implica el isomorfismo del título; es decir, si tenemos $\text{Hom}(X,Z)\cong \text{Hom}(Y,Z)$ entonces $X\cong Y$ . Sin embargo, mis conocimientos de la teoría de las categorías son, en el mejor de los casos, limitados. Me preguntaba si alguien podría explicar cómo funciona esto, o bajo qué condiciones (si es que hay alguna) no funciona. En particular, quiero usarlo para módulos cuyos grupos abelianos subyacentes son simplemente copias de $\mathbb{Z}$
Respuesta
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Jakob Werner
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Permítanme mostrar cómo una familia de isomorfismos $\mathcal{C}(X,Z)\cong\mathcal{C}(Y,Z)$ natural en $Z$ nos da un isomorfismo $Y\cong X$ . Asumiré que estás familiarizado con los funtores, en particular con el $\operatorname{Hom}$ -funciones en cuestión y transformaciones naturales, porque de lo contrario discutir las implicaciones del Lemma de Yoneda no será muy fructífero.
Para $\mathcal{C}$ localmente pequeño, tenemos la Yoneda-Functor $\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\xrightarrow{\ \ \mathcal{Y}\ \ }[\mathcal{C},\mathbf{Set}]$ enviando una flecha $Y\xrightarrow{\ \ f\ \ }X$ sobre la transformación natural $$\left(\mathcal{C}(X,Z)\xrightarrow{k\longmapsto kf}\mathcal{C}(Y,Z)\right)_{Z\in\mathcal{C}}\,.$$ Si podemos demostrar que este functor es totalmente fiel, se seguirá que todo isomorfismo $\mathcal{C}(X,-)\cong\mathcal{C}(Y,-)$ proviene de un isomorfismo único $Y\cong X$ .
Ahora bien, el lema de Yoneda afirma que dado cualquier functor $\mathcal{C}\xrightarrow{\ \ F\ \ }\mathbf{Set}$ y cualquier objeto $X\in\mathcal{C}$ el mapa $$FX\longrightarrow[\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C}(X,-),F)\,,\qquad x\longmapsto(\mathcal{C}(X,Z)\xrightarrow{k\longmapsto (Fk)x}FZ)_{Z\in\mathcal{C}}$$ es una biyección (natural en ambos $F$ y $X$ para un functor apropiado).
Para $F=\mathcal{C}(Y,-)$ esto significa que $$\mathcal{C}(Y,X)\longrightarrow[\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C}(X,-),\mathcal{C}(Y,-))\,,\qquad f\longmapsto \left(\mathcal{C}(X,Z)\xrightarrow{k\longmapsto \mathcal{C}(Y,k)(f)}\mathcal{C}(Y,Z)\right)_{Z\in\mathcal{C}}$$ es una biyección. Pero como $\mathcal{C}(Y,k)(f)=kf$ Este es exactamente el mapa $\mathcal{C}(Y,X)\longrightarrow[\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{Y}X,\mathcal{Y}Y)$ , $f\longmapsto\mathcal{Y}f$ por lo que el functor de Yoneda es efectivamente completo y fiel.
