Aplicación de Stone-Weierstrass

Question

Bonjour,

Encontré el siguiente problema en el libro "Real and Functional Analysis" de Lang, en el capítulo $3$ . Primero explicaré el trasfondo y luego pasaré a la pregunta concreta.

Hay que demostrar que las funciones de la forma $e^{-x}p(x)$ , où $p$ es un polinomio, son densas en el conjunto de las funciones continúa en $[0, +\infty[$ que tienden al cero en $+\infty$ , muni de la norme sup.

Para ello, aplicamos Stone-Weierstrass al complemento $[0,+\infty]$ , considerando el conjunto de funciones de la forma $\sum_{n=1}^{N}{e^{-nx}p_n(x)}$ definido en el completado (al que también hay que añadir constantes). Entonces, tenemos que demostrar que podemos aproximar uniformemente las funciones $e^{-nx}p(x)$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$ .

Lang sugiere que se aborde el tema $e^{-2x}$ por las funciones $e^{-x}q(x)$ à l'aide de la formule de Taylor avec reste, puis $e^{-nx}p(x)$ en general. Creo que he superado la primera parte, y la segunda sigue con bastante facilidad para $n \geq 3$ . Por otro lado, no puedo manejar el caso $n = 2$ .

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: Pour $m \in \mathbf{N}$ , se puede abordar de manera uniforme $x^m e^{-2x}$ en $[0,+\infty[$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$ , où $q$ es un polinomio?

Agradecería una referencia o una demostración (o ambas). (Puede responder en otro idioma).

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[Mod: intento de traducción a continuación]

Hola,

He encontrado el siguiente problema en el libro "Análisis Real y Funcional" de Lang, en el capítulo 3. Primero explicaré el contexto, después plantearé mi pregunta precisa.

Queremos demostrar que las funciones de la forma $e^{-x}p(x)$ , donde $p$ es un polinomio, son densas en el conjunto de funciones continuas definidas en $[0,\infty)$ que tiende a 0 en $+\infty$ , dotado de la norma sup.

Para ello, aplicamos Stone-Weierstrass en la terminación $[0,+\infty]$ y considerar el álgebra generada a partir de las funciones de la forma $\sum_{n=1}^N e^{-nx}p_n(x)$ (a la que añadimos también las funciones constantes). A continuación, tenemos que demostrar que podemos aproximar uniformemente las funciones $e^{-nx}p(x)$ mediante funciones de la forma $e^{-x}q(x)$ .

Lang sugiere que primero se haga una aproximación $e^{-2x}$ mediante funciones de la forma $e^{-x}q(x)$ utilizando el teorema de Taylor con residuos. Entonces consideremos $e^{-nx}p(x)$ en general. Creo que sé cómo hacer el primer paso. Para el segundo paso, el $n\geq 3$ los casos son fáciles. Por otro lado, no sé cómo tratar el caso $n=2$ .

Así que esta es mi pregunta: podemos aproximar una función de la forma $x^me^{-2x}$ , donde $m\in\mathbb{N}$ de manera uniforme sobre $[0,\infty)$ por funciones de la forma $e^{-x}q(x)$ , donde $q$ es un polinomio?

Agradecería una referencia o una prueba (o ambas). (Puede publicar su respuesta en otro idioma).

Answer 1

Editar: Sólo he conseguido la parte que C.R. daba por sentada en su argumento. Como ya está escrito, lo dejo aquí para completarlo.

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Dejemos que $p_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} x^{k}$ sea el $n$ polinomio de Taylor de $e^{-x}$ . Entonces, por el teorema del resto de Lagrange tenemos $e^{-x} = p_{n}(x) + \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} e^{-\xi} x^{n+1}$ para algunos $\xi \in [0,x]$ .

Por lo tanto, $|e^{-2x} - e^{-x} p_{n}(x)| \leq \frac{e^{-\xi}}{(n+1)!} e^{-x} x^{n+1}$ y queremos demostrar que el lado derecho converge a cero uniformemente en $x$ . Como $e^{-\xi} \leq 1$ basta con encontrar el máximo de $e^{-x}x^{n+1}$ . La diferenciación arroja que el máximo se encuentra en $x = n+1$ y su valor es $\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}$ . Por otro lado, la fórmula de Stirling nos dice que $n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n} e^{r_{n}}$ con $|\frac{1}{12n} - r_{n}| \leq \frac{1}{120n^2}$ . Juntando estas cosas obtenemos \[ |e^{-2x} - e^{-x} p_{n}(x)| \leq \frac {1}{ \sqrt {2 \pi (n+1)}} e^{-r_{n+1}} \xrightarrow {n \to\infty } 0 \] como queríamos.

Answer 2

Creo que he encontrado la solución. Es un pequeño truco en el que no había pensado. Espero no equivocarme, pero avísame si lo hago.

Tenons pour acquis que $e^{-2x}$ es el límite uniforme de un conjunto de funciones $e^{-x}p_n(x)$ Esto se demuestra con un argumento con la fórmula de Taylor, que omitiré si nadie pide verlo.

Soit $c > 0$ . Por un cambio de variable, vemos que $e^{-2cx}$ es el límite uniforme de la suite $e^{-cx}p_n(cx)$ . Así que ahora mismo $r$ un polinomio. Dado que la función $e^{-x}r(x)$ est bornée, on a que $e^{-cx}p_n(cx)e^{-x}r(x)$ tienden uniformemente hacia $e^{-2cx}e^{-x}r(x)$ .

Por otra parte, las funciones de la forma $e^{-(2c+1)x}p(x)$ están en la clonación uniforme de las células de la forma $e^{-(c+1)x}p(x)$ . En posant $\alpha = \frac{2c+1}{c+1}$ (que puede tener cualquier valor) $1 < \alpha < 2$ ), tenemos por un nuevo cambio de variable que para todo $d > 0$ , las funciones $e^{-\alpha dx}p(x)$ se encuentran en la estructura uniforme de las funciones $e^{-dx}p(x)$ .

Ahora basta con elegir $c$ para que $\alpha = \sqrt{2}$ y aplicar lo anterior dos veces.

Remarques:

1. A menudo, cuando me encuentro con un argumento en un libro de Lang que parece funcionar casi, pero no del todo, estoy tentado de pensar que es un error. En este caso, me precipité un poco.

2. Gracias a los traductores. Traducir puede ayudar a que más personas lo entiendan. Por otro lado, no me gustaría que la gente se sintiera obligado para traducir si no ven el punto. Vi en otra página que alguien hablaba de una mentalidad de "traduce esto y haz mi trabajo por mí". No he hecho la pregunta para obligar a alguien a hacer este trabajo. Personalmente, me hubiera gustado que la pregunta se dejara tal cual, aunque eso supusiera que algunos no la entendieran.

3. Estoy bastante sorprendido de haber derramado tanta "tinta" (si se me permite decirlo). Hubiera preferido llamar la atención sólo sobre el tema de las matemáticas.

4. Un gran agradecimiento a los que han respondido al contenido matemático de la pregunta.