$a^2=ab+b^2+b+5$ no tiene soluciones del número entero

Question

Demostrar que la ecuación de $a^2=ab+b^2+b+5$ no tiene soluciones del número entero.

Mi intento:

$4a^2=4ab+4b^2+4b+20$

$4a^2-4ab+b^2 = 5b^2+4b+20$

$5(4a^2-4ab+b^2) = 5(5b^2+4b+20)$

$5(2a-b)^2=(5b+2)^2+96$

Que $2a-b = x$, $\;5b+2=y$

tenemos $\;5x^2-y^2=96$.

Por favor sugerir sobre cómo proceder.

Answer 1

$$5x^2-y^2 = 84 \implies 2x^2-y^2 \equiv 0 \pmod{3}$ $ que implica $3\mid x$ y $3\mid y$. $9\nmid 84$.

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Tu ecuación original debería ser equivalente al %#% $ #% donde $$5x^2-y^2 = 96$. Pero el método anterior funciona bien para $x=2a-b, y=5b+2$ demasiado.