¿La continuidad implica siempre la integrabilidad?

Question

Por favor, corríjanme si me equivoco.

En términos de integrabilidad de Riemann: Si consideramos integrales de Riemann en un intervalo cerrado, cualquier función continua es integrable.

En términos de integrales impropias: la continuidad no implica integrabilidad.

Answer 1

Teorema : Una función continua $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es integrable de Riemann.

Prueba:

Dejemos que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Cualquier función que sea continua en un compacto como nuestro $f$ en $[a,b]$ -también es uniformemente continuo en ese conjunto $^\dagger$ . Es decir, dada una $\mu > 0$ nos garantizan un $\delta > 0$ tal que $|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \mu$ para cualquier $x, y \in [a,b]$ . Considere una partición $\mathcal{P}$ de $[a, b]$ en $n$ intervalos iguales de anchura $\displaystyle \frac{b-a}{n}$ con $n$ lo suficientemente grande como para que $\displaystyle \frac{b-a}{n} < \delta$ . Calculando la diferencia entre las sumas superior e inferior: \begin {align*} U(f, \mathcal {P}) - L(f, \mathcal {P}) &= \sum_ {k = 1}^{n} \left (x_k - x_{k-1} \right ) \Big [ \operatorname {sup} {f(x) | x \in [x_{k-1}, x_k] \N - \operatorname {inf} \ {f(x) | x \in [x_{k-1}, x_k] \N -} \Big ] \\ & \leq \left ( \frac {b-a}{n} \right ) \cdot n \cdot \mu \N - (b-a) \mu \end {align*} Dado un $\varepsilon > 0$ , elija $\mu$ lo suficientemente pequeño como para que $\displaystyle \mu < \frac{\varepsilon}{(b-a)}$ . Entonces $U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) < \varepsilon$ y concluimos $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ .

---

$^\dagger$ Ver aquí para seguir discutiendo.

Answer 2

Vale la pena dar otra demostración de la integrabilidad de Riemann de las funciones que son continuas en un intervalo cerrado.

La siguiente prueba está tomada de Cálculo de Spivak y debo decir que es bastante novedoso. No hace uso de la continuidad uniforme sino que invoca el teorema del valor medio para las derivadas.

La idea central es demostrar que si $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ es continua en $[a, b] $ entonces las integrales superior e inferior de Darboux de $f$ en $[a, b] $ son iguales, es decir $$\overline{\int} _{a} ^{b} f(x) \, dx=\underline{\int} _{a} ^{b} f(x) \, dx$$ Ahora para establecer la identidad anterior Spivak considera las integrales superiores de Darboux en función del límite superior de integración. Así, siguiendo a Spivak, consideramos la función $$J(x) =\overline{\int} _{a}^{x} f(t) \, dt$$ y demostrar que $J'(x) =f(x) $ para todos $x\in[a, b] $ . Del mismo modo, tenemos $j'(x) =f(x) $ para todos $x\in[a, b] $ donde $$j(x) =\underline{\int} _{a} ^{x} f(t) \, dt$$ La derivada de la función $F=J-j$ se desvanece en todas partes en $[a, b] $ y $F(a) =0$ para que $F$ se desvanece en el conjunto de $[a, b] $ .

El punto clave que hay que establecer aquí es la relación $$J'(x) =f(x) =j'(x), \forall x\in[a, b] $$ y la demostración es casi la misma que la del primer teorema fundamental del cálculo. Las integrales superiores de Darboux gozan de la misma propiedad aditiva que las integrales de Riemann y tenemos $$J(x+h) - J(x) =\overline{\int} _{x} ^{x+h} f(t) \, dt$$ Más información $\epsilon >0$ la continuidad de $f$ en $x$ garantiza la existencia de un $\delta>0$ tal que $$f(x) - \epsilon<f(t) <f(x) +\epsilon$$ siempre que $t\in(x-\delta, x+\delta) $ . Si $0<h<\delta$ entonces la desigualdad anterior da como resultado $$h(f(x) - \epsilon) \leq J(x+h) - J(x) \leq h(f(x) +\epsilon) $$ o $$\left|\frac{J(x+h) - J(x)} {h} - f(x) \right|\leq \epsilon$$ La misma identidad se mantiene incluso cuando $-\delta<h<0$ y por tanto por definición de derivada tenemos $J'(x) =f(x) $ . La prueba para $j'(x) =f(x) $ es exactamente la misma (utilizando integrales de Darboux inferiores).

Answer 3

$f(x)=1/x$ es continua en $[1, \infty)$ pero $\int_1^{\infty} f(x) dx = \infty$ .