Mientras estudiaba para el Chern-Weil descripción de la característica de las clases, consideramos que el procedimiento para cocinar polinomios invariantes bajo el adjunto a la acción.
Es decir, dada una directora $G$-bundle $P \to M$, consideramos simétrica multilineal mapas de $f: (\Omega^{\mathrm{even}}(M) \otimes \mathfrak{g})^k \to \mathbb{C}$ que son invariantes bajo la ($k$veces inducida por la acción) de la adjoint acción $G \to \mathrm{GL} (\mathfrak{g})$.
Para las clases de Chern, consideramos $G = \mathrm{U}(n)$ y el skew-hermitian matrices $\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(n)$. Lo bueno es que cada elemento de a $\mathfrak{u}(n)$ es conjugado a un elemento de la Cartan subalgebra $\mathbb{C}^n$ (diagonal inclinada hermitian matrices) de $\mathfrak{u}(n)$, y las clases conjugacy en el Cartan subalgebra corresponden a las órbitas de los grupo de Weyl $W_{\mathrm{U}(n)} = S_n$. Para que podamos identificar el adjunto polinomios invariantes en $\mathfrak{g}$ como el simétrico de polinomios en $n$ variables.
Mi pregunta es ¿cuando este comportamiento (es decir, cada elemento de a $\mathfrak{g}$ puede ser tomado en Cartan subalgebra por los adjuntos de la acción, y de la órbita de la acción restringida en la Cartan subalgebra es igual a la órbita del grupo de Weyl) se producen? Yo veo esto por $G = \mathrm{U}(n)$ o $G = \mathrm{O}(n)$, pero no estoy seguro de si la definición de la Cartan subalgebra de los rendimientos de este resultado. Funciona de la matriz de la Mentira de los grupos en general? Estoy un poco oxidado en la Mentira de la teoría, pero cualquier ayuda es muy apreciada.
