Máximo requerido para la función de los niños

Question

Estoy planeando pretabulate una tabla de búsqueda con el fin de evaluar los Chicos de la función. Podemos ampliar los Chicos de la función como:

$$F_n (x_t + \Delta x) = \sum _{k=0}^\infty \frac{F_{n+k}(x_t)(-\Delta x)^{k}}{k!} \hspace{16pt} \tag{9.8.12}$$

A continuación, podemos utilizar recursividad hacia abajo (hacia arriba y es numéricamente inestable) con el fin de evaluar la función para cualquier valor de $n$ (en orden):

$$F_n (x) = \frac{2xF_{n+1}(x)+\exp(-x)}{2n+1} \tag{9.8.14}$$

Me gustaría que alguien explique cómo se elige la cual el valor de $n$ la tabla de búsqueda va a tomar? Mi trabajo/lógica tan lejos como:

• El Hermite integral tiene las siguientes recursividad (McMurchie-Davidson esquema, $x$ dirección):

$$R^{n}_{t+1,u,v} = tR^{n+1}_{t-1,u,v} + X_\mathrm{PC}R^{n+1}_{t,u,v} \tag{9.9.18}$$

$\hspace{16pt}$ con:

$$\hspace{16pt} R^{n}_{0,0,0}=(-2p)^{n} F_{n}(p R_\text{PC}^{2}) \tag{9.9.14}$$

$\hspace{16pt}$ , por lo que la recursividad debe limitar a$n$$n\leq t+u+v$.

• En 2 electrones integrales, el Hermite integrales están obligados por $t \leq l_\mu + l_\lambda + l_\nu + l_\sigma $. Por lo tanto, $n$ es obligado por la suma del total de angular momenta de las funciones de base, es decir, $n \leq L_\mu + L_\lambda + L_\nu + L_\sigma$ donde $L_\mu = l_\mu + m_\mu + n_\mu$.

• Por lo tanto, teniendo en cuenta el caso extremo de cuatro $L=3$ funciones de base, $n$ debe ser obligado por $n \leq 12$.

¿Significa esto que una tabla de búsqueda debe comenzar a $n=12$ y siempre se repiten abajo de este, o que debo hacer diferentes tablas de búsqueda y evaluar cuál utilizar en función de la mayor momento angular funciones en cada individuo de cálculo? Hay defectos, o agujeros en mi lógica anterior?

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Todas las ecuaciones tomadas de Estructura Electrónica Molecular Teoría, Helgaker et al. (2000).

Answer 1

Creo que la lógica parece bien.

Cuando usted hace su look up tables, de la que desea hacer una tabla para cada una de las $n$ hasta un cierto valor de $n_\text{max}$. Considere usted desea calcular una integral que requiere únicamente de $n=2$, entonces sería muy ineficiente para calcular el $F_{12}$ y, a continuación, hacia abajo se repiten.

En la ecuación (9.8.12) se puede observar que en la suma, tenemos a los Chicos de la función en $F_{n+k}$. De acuerdo a "Molecular Electrónica Teoría de la Estructura", tendríamos la primera $6$ términos de la suma. I. e. al hacer su tabulación tendrá que calcular todos los $n$$n_\text{max}+6$.

También cuando usted hace su tabulación necesita de un rango máximo de su tabulados los Chicos de la función, es decir, un valor máximo para que usted puede comenzar a usar de la gama larga aproximación a posteriori (otra de las mesas va a ser ENORME). De la gama larga aproximación está dada como:

$$F_n(x)\leq\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{x^{2n+1}}}\tag{9.8.10}$$

Para que los valores de $x$ a empezar a usar esta aproximación para diferentes $n$ usted puede tomar un vistazo a la Tabla II en la Eficiente recursiva computación molecular integrales sobre Cartesiano Gauss funciones. Estoy seguro de la más reciente literatura sobre este tema existen, pero no he encontrado.

Como una nota del lado, también se pueden calcular los Chicos de la función con la tabulación (este podría ser menos eficaz). Mediante la siguiente fórmula:

$$F_n(x)=\exp(-x)\sum_{i=0}^\infty\frac{(2n-1)!!(2x)^i}{(2n+2i+1)!!}$$

Esta fórmula hace que una implementación de los Chicos funciones mucho más fácil. Si usted está haciendo una integral código desde cero, me gustaría sugerir a aplicar la fórmula anterior. Siempre se puede acelerar el código más adelante. Nota con la fórmula anterior también puede calcular los Chicos de la función de la máxima $n$ usted necesita y, a continuación, utilizar la recursividad hacia abajo. Si su objetivo es poner en práctica los Chicos de la función a través. tabulación, entonces usted también puede usar la fórmula anterior para generar los valores de tu look-up tables.