Ejemplos de axiomas de elección

Question

En el wikipedia artículo, se dan dos ejemplos que utilizan/no utilizan el axioma de elección. Son:

• Dado un par infinito de calcetines, se necesita AC para elegir un calcetín de cada par.

• Dada una colección infinita de pares de zapatos, se puede especificar un zapato sin AC eligiendo el de la izquierda.

¿No son ejemplos equivalentes (sólo que con objetos diferentes)? ¿Por qué no se puede elegir simplemente el calcetín de la izquierda en (i) (para que no se necesite AC)?

Answer 1

La idea que subyace al axioma de elección es indicar cómo elegir cuando no se puede distinguir necesariamente entre los elementos.

Cuando sacas un par de calcetines del armario (o del cajón, etc) no puedes saber cuál tenías en el pie izquierdo y cuál en el derecho, o cuál es este y cuál es aquel. Si puedes, bueno... tienes que acordarte de dejar que otra persona se asegure de que tienes calcetines a juego :-)

La idea, formalmente, es que si se toma un producto de infinitos conjuntos no vacíos entonces no es vacío, es decir, hay una función en el producto que devuelve un elemento en cada coordenada.

Formalmente, dado un conjunto $I$ tal que $\forall i\in I$ tenemos $A_i\not=\emptyset$ entonces hay $F\colon I\to\bigcup_{i\in I} A_i$ para lo cual $F(i)\in A_i$ .

Si se piensa en ello, no es un requisito "extraño" cuando se habla de matemáticas, y puede resultar natural en muchos lugares.

Por ejemplo, para dos conjuntos cualesquiera $A,B$ si hay $f\colon A\to B$ que es proyectiva entonces hay una inyectiva $g\colon B\to A$ . ¿Qué hacemos? En cierto sentido, elegimos un representante en cada clase de equivalencia de $a_1\sim a_2\iff f(a_1) = f(a_2)$ . Pero si tenemos infinitas clases de equivalencia - entonces (normalmente) necesitamos invocar algún axioma de elección (quizás el axioma de elección, o de elección contable, o de elección dependiente, etc...)

Sin embargo, muchas veces no se utiliza el axioma de elección, sino un principio equivalente llamado "Lemma de Zorn", que establece que si se tiene un orden parcial en el que cada cadena está acotada por arriba - entonces hay algún elemento máximo (es decir, nadie está estrictamente por encima de él en el orden). De nuevo, no es algo que no sea razonable si quieres que los procesos infinitarios "actúen" de forma similar a los finitarios.

Adenda:
Después de pensarlo un poco más, se me ocurrió algo que podría aclarar las cosas. Hay un concepto que es "un elemento definible", es decir que se puede escribir alguna fórmula $\psi(x)$ tal que $a$ es el único elemento (supongamos que en $A$ ) que satisface la fórmula. Si quieres elegir entre infinitos conjuntos, tienes que poder y decir qué elemento has elegido.

Si tiene al menos un elemento definible en cada conjunto, suponga por alguna fórmula uniforme $\varphi(x)$ entonces se puede elegir claramente el elemento definido por $\varphi$ . Sin embargo, si hay muchos elementos definibles en cada conjunto, o se necesitan infinitas fórmulas, entonces no se puede expresar de forma sencilla, y entonces hay que suponer que se puede hacer.

Y como ya he comentado, simplemente queremos que los procesos infinitos se comporten bien, como los finitos.

Answer 2

En ambos ejemplos se da una familia infinita de conjuntos de tamaño 2, y una función de elección escoge un elemento de cada familia. En el caso de los conjuntos de zapatos, cada conjunto viene con un ordenamiento (izquierda, derecha), y así podemos definir una función de elección de forma explícita. En el caso de los pares de calcetines, no es así: Por supuesto, dado cualquier par, podemos asignarle un ordenamiento para poder seleccionar uno de los dos calcetines. Sin embargo, no hay una forma obvia de uniformemente hacer esto para todos los pares al mismo tiempo. Esto significa (al menos intuitivamente) que no hay forma de definir una función de elección. Su existencia sólo puede concederse aplicando el axioma de elección.

Hay varias variantes de este ejemplo. Una que puede ser útil para pensar es la siguiente: Se puede demostrar explícitamente que si $A_n$ es un conjunto de reales y $|A_n|=2$ para cada $n\in{\mathbb N}$ entonces $\bigcup_n A_n$ es un conjunto contable (finito o infinito). Sin embargo, es consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos excepto la elección de que hay una secuencia $(A_n\mid n\in{\mathbb N})$ de conjuntos, cada uno $|A_n|=2$ y sin embargo $\bigcup_n A_n$ no es contable. Aunque la construcción del modelo en el que esto ocurre es técnica, la cuestión es que esto formaliza la intuición de que no hay una forma "explícita" de elegir un calcetín de cada par, simultáneamente, y que cualquier forma de hacerlo es esencialmente no constructiva.

Para más información sobre las versiones teóricas de conjuntos de estas colecciones de medias (cardinales de Russell), véase aquí .