¿Una esfera hueca vibra más tiempo que una esfera sólida?

Question

Supongamos que lo siguiente es constante:

• Superficie de ambas esferas
• Las esferas están hechas de titanio (Ti).
• El mecanismo que golpea una esfera dada entrega la misma energía por cada golpe.
• Las esferas están suspendidas en el vacío por una cuerda flexible que posee una masa insignificante y una gran fuerza.
• Ambas Esferas son lo suficientemente masivas en comparación con la fuerza del golpe, de tal manera que, la energía se traduce principalmente en vibración en oposición al movimiento en el espacio 3D.
• La esfera hueca contiene un vacío.

De interés primordial es si la duración de la vibración sería significativamente más larga para la esfera hueca que para la esfera sólida.

Hipótesis: La esfera sólida atenuaría la vibración más rápidamente ya que contiene más átomos para conducir y absorber la energía mecánica. La esfera hueca que es como una campana contiene menos átomos y caminos hacia los átomos que podrían distribuir la carga vibratoria.

Answer 1

Hmm, sólo razonando por mí mismo creo que tal vez las entrañas de la esfera hueca responderían a la pregunta. Si hay algo allí como el aire, eso crearía un límite entre los materiales que causaría sus propios reflejos internos y como tal en el sentido macroscópico se atenuaría y reflejaría y las ondas viajeras hacia adelante interactuarían, etc., mientras que una esfera sólida no tendría esto excepto por el límite externo. Cuanto más denso es un medio, mejor conduce las ondas sonoras (presión), por ejemplo, podemos escuchar una distancia mayor en el agua que en el aire. Me gustaría argumentar que esto está relacionado con este tema. Mi principal rastro de pensamiento aquí son las reflexiones de Fresnel.

Answer 2

Una respuesta precisa a esta pregunta está sorprendentemente desarrollada matemáticamente, pero es bastante simple de encontrar computacionalmente (elige tu paquete de software FEA favorito y traga). Intentaré atacar el problema de la primera manera con la advertencia de que esta explicación podría estar equivocada y estoy siendo engañado por errores matemáticos.

El primer aspecto clave a tener en cuenta es que las ondas mecánicas a través de los sólidos se amortiguan más a medida que la frecuencia de la onda aumenta . Como resultado, normalmente sólo se escuchan las frecuencias características "más bajas" de un objeto que es golpeado mecánicamente. En resumen, frecuencias más bajas = menos atenuación. La amortiguación proporcional a la frecuencia en la mecánica estructural se denomina normalmente "amortiguación de Rayleigh" y es una extensión bastante directa del modelo típico de amortiguación proporcional a la velocidad que se ve en los modelos de resortes de salto de masa.

Esto significa que nuestra tarea es ahora encontrar las frecuencias características de cada esfera! Asumiendo que estas esferas no se doblan plásticamente cuando son dobladas, los desplazamientos de ambas esferas siguen las ecuaciones de Navier-Lamé:

$$ \rho\frac { \partial ^2 \bf u}{ \partial t^2} = ( \lambda + \mu ) \nabla ( \nabla \cdot \bf {u} ) + \mu\nabla ^2 \bf {u} + \bf F$$

donde $ \bf u$ son los desplazamientos, $ \rho $ es la densidad, $ \lambda $ y $ \mu $ son coeficientes de material y $ \bf F$ es la fuerza externa. Debido a que los materiales de ambas esferas son los mismos, la diferencia viene en realidad de las condiciones límites de cada esfera. Debido a que la esfera hueca tiene tanto una superficie interior como exterior con condiciones límite sin tracción, las partes oscilatorias de las soluciones para $ \bf u$ van a tener frecuencias más pequeñas y por lo tanto se humedecerán más lentamente.

En resumen, el espacio libre para vibrar $ \rightarrow $ las vibraciones son más lentas $ \rightarrow $ las vibraciones duran más.

Espero que esto ayude, siéntete libre de verificar esto/probar que estoy equivocado golpeando un par de esferas de titanio!