Subconjunto de una familia de conjuntos

Question

Me ha costado entender qué es un subconjunto de una familia de conjuntos.

Definición: Un conjunto $A$ es un subconjunto de otro conjunto $B$ si cada elemento del conjunto $A$ también está en $B$ .

Para una familia de conjuntos $B$ son los elementos de B que se refieren a los conjuntos que $B$ contiene, o los elementos dentro de cada conjunto individual. Por ejemplo, digamos que estamos considerando la familia de conjuntos $$A = \{\{1,2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}\}$$

Si F = {3,5}, entonces es $F$ un subconjunto de $A$ ? Todo el conjunto $F$ no está en $A$ pero los elementos de $F$ son.

Answer 1

Pregunta ¿Cuáles son los elementos de $A$ ? Respuesta Los conjuntos $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}$ .

Segunda pregunta ¿Cuáles son los elementos de $F$ ? Respuesta Las cifras $3, 5$ .

¿Son todos los números $3,5$ parte de $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}$ ? La respuesta es no (por cierto, ninguna de ellas). Así que $F$ no es un subconjunto de $A$ .

Lo que se puede decir es que los elementos de $F$ son elementos de los elementos de $A$ .

Answer 2

Un subconjunto de una familia de conjuntos no es más que una familia (más pequeña) de conjuntos, cada uno de los cuales está en la familia original.

Utilizando su ejemplo, si la familia $\mathscr A=\{\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}$ (que es una familia de tres conjuntos), entonces $F=\{3,5\}$ es no un subconjunto de $\mathscr A$ . Tampoco es un elemento de $\mathscr A$ Por lo tanto. Realmente no tiene relación con $\mathscr A$ .

Siguiendo con el ejemplo, en realidad se pueden enumerar todos los subconjuntos de $\mathscr A$ cada uno de los cuales es una familia de conjuntos: $$\mathscr B_1=\{\}=\varnothing$$ $$\mathscr B_2=\{\{1,2\}\}$$ $$\mathscr B_3=\{\{3,4\}\}$$ $$\mathscr B_4=\{\{5,6\}\}$$ $$\mathscr B_5=\{\{1,2\}, \{3,4\}\}$$ $$\mathscr B_6=\{\{1,2\}, \{5,6\}\}$$ $$\mathscr B_7=\{\{3,4\}, \{5,6\}\}$$ $$\mathscr B_8=\{\{1,2\},\{3,4\}, \{5,6\}\}=\mathscr A$$