Casos concretos donde$YX=qXY$

Question

Estaba leyendo Kassel en el plano cuántico y él define a un $R$-punto en este plano como un par de $X$, e $Y$ elementos de la no conmutativa álgebra $R$ tal que $$YX=qXY,$$ con $q$ invertible. Puede alguien darme un ejemplo concreto de esa álgebra $R$?

Hay una matriz álgebra que podría encajar este ejemplo? Gracias de antemano

Edit. He encontrado que si tomamos R como Heisenberg Álgebra, a continuación, $$X=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & b\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\, Y=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & c\\ 0 & 0 & 1/q\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$ is an $R$-punto en el plano cuántico. Si usted tiene cualquier otro ejemplo concreto, favor de escribir :)

Answer 1

Lo más simple es definir y álgebra con un elemento como ese:

$R=F\langle X, Y\rangle/(YX-qXY)$ donde, por ejemplo,$q\in F$.

En$M_2(\mathbb R)$, configuración$X=Y=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ le da un ejemplo de$XY=qYX$ para cualquier$q\in\mathbb R$.

Answer 2

Un "concreto" álgebra en el que esto sucede es el "álgebra de funciones de la cuántica avión": deje $V$ ser el espacio de las funciones de $\mathbb N_0\to \mathbb C$ y definir dos elementos de la $\operatorname{End}_\mathbb C(V)$ como sigue: $x$ es el endomorfismo de que los cambios de una función, por lo que el $(xf)(n) = f(n+1)$, e $y$ es tal que $(yf)(n) = q^n f(n)$. A continuación,$yx=qxy$, y el subalgebra generado por $x,y$ es de hecho isomorfo a $\mathbb C\langle x,y\mid yx-qxy\rangle$. Si usted sabe algo de español, echa un ejercicio 4.5 aquí.

Answer 3

Esto es una generalización un poco del que encuentra. Esta pareja funciona. $$X=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b\ 0 & q & q(a d + c - c q)\ 0 & 0 & q q \end{array}\right),\,Y=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & c\ 0 & 0 & d\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right). $$