Evaluar

Question

Sé que el resultado debe ser $1,$ sé que:

$ n\leq x/2

$n=0$ Tenemos

$ 0 \leq x

$ 0\leq x/2

Del mismo modo, para el $n=1,$ $ [x/2] = 1$

¿Cómo puedo utilizar estos hechos para evaluar el integral?

Answer 1

Creo que si $f(x)=\left\lfloor\dfrac{x}{2}\right\rfloor!,$ entonces facilitan el trabajo, en su dominio, con $f(x)=U(x-2),$ la función de paso de la unidad. Entonces $f'(x)=U'(x-2)=\delta(x-2)$ en su dominio. Si puede utilizar la identidad $\int_a^b f(x)\,\delta(x-c)\,dx=f(c)$ $a<c></c>

Answer 2

Vamos a escribir que Riemann-Stieltjes suma $$ S_n = x_1^3([x_1/2]-[x_0/2])+\dots+x_i^3([xi/2]-[x{i-1}/2])+x{i+1}^3([x{i+1}/2]-[x_i/2])+\dots+x_n^3([xn/2]-[x{n-1}/2]) $ $ luego elegimos $i$ que $x_{i-1}/2