Soluciones del número entero de $3^n-1=2m^2$

Question

Quiero encontrar soluciones de $3^n-1=2m^2$ diferente $(n, m)=(0, 0)$, $(n, m)=(1, \pm1)$, $(n, m)=(2, \pm2)$ y $(n, m)=(5, \pm11)$.

No existen otras "pequeñas" soluciones ($n

Answer 1

Según "Historia de la teoría de números" vol. de Dickson 2, pág. 694,

"E. Fauquembergue [158] demostrado que $1+3+3^2+ · · · +3^n=y^2$ sólo cuando n = 0, 1, 4, usando los poderes de $a+b\sqrt{-2}$ $3^{n+1}=1+2y^2$ de tratar."

La referencia es a "Mathesis, (2), 4, 1894, 169-170".

Answer 2

Esto es sólo para decir que uno puede pasar por alto el caso de$n \ge 4$, incluso, el uso del catalán conjetura/teorema.

Incluso para $n=2k\ge 4,$ si $3^n-1-2m^2$ $(3^k-1)(3^k+1)=2m^2,$ donde los factores de la izquierda han mcd $2.$ Esto significa que uno de los factores es $2a^2$ y la otra es $b^2,$ donde (innecesarios) $\gcd(a.b)=1.$, por Lo que hemos de conseguir, bien $3^k-1=b^2$ o $3^k+1=b^2,$ donde ahora se $k \ge 2.$

Tenemos entonces la diferencia de que no sea trivial poderes igual a $1.$ Ahora aplicar catalán de la conjetura (teorema). Vamos a tener cualquiera de las $3^k-b^2=1$ o $b^2-3^k=1,$ y no se ajusta a la única solución (catalán) $2^3-3^2=1.$