Encontrar cuántos valores de $n$. $I_n=\int_0^1 \frac {1}{(1+x^2)^n} \, dx = \frac 14 + \frac {\pi}8$

Question

<blockquote> <p>Encontrar cuántos valores de $n$. $I_n=\int_0^1 \frac {1}{(1+x^2)^n} \, dx=\frac 14 + \frac {\pi}8$</p> </blockquote> <p>Mi intento (integración por partes):</p> <p>\begin{align} I_n & = \int_0^1 \frac 1{(1+x^2)^n}\,dx = \left. \frac {x}{(1+x^2)^n} \right|_0^1+2n\int_0^1 \frac {x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}\,dx \\[10pt] & =\frac 1{2^n}+2n \times I_n-2n\times I_{n+1}\implies I_{n+1}= \frac 1{2^{n+1}n}+\frac {2n-1}{2n}I_n. \end {Alinee el}</p> <p>donde $I_1=\frac {\pi}{4}.$</p> <p>Averiguar que $I_2=\frac {\pi}{8}+\frac 14.$ pero ¿cómo puedo saber que es la <em>única</em> solución?</p>

Answer 1

Sugerencia. La secuencia $I_n$ está disminuyendo terminantemente porque $x\in (0,1]$, $$0

Answer 2

Tenga en cuenta que la secuencia $(I_n)$ está disminuyendo, por lo tanto, hay a lo más un valor de $n$ tal que $I_n=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}$.