Una de las mejores maneras de conseguir una manija en un grupo se reconoce como isomorfo a un conjunto de simetrías de alguna estructura. El diedro grupo de orden $2n$ se reconoce fácilmente como el conjunto de simetrías de un regular $n$-gon, el grupo simétrico como las permutaciones de un conjunto, el de Klein-cuatro grupo como las simetrías de la 'cruz'---un par de opuestos puntas son más largos que los otros pares.
Las descripciones anteriores son también, en un sentido 'exhaustiva': cada "sensible" de la simetría podría concebir de esas estructuras está representado por algún elemento del grupo. Un ejemplo en el que el grupo no es exhaustiva sobre su estructura es $C_n$ más de la habitual $n$-gon (reflexión es que faltan) o $A_n$ sobre el conjunto de $n$ elementos.
Me gustaría saber de una estructura en la que un grupo de free---específicamente $F_2$---naturalmente actos en los que está también en un sentido 'exhaustiva'. Soy consciente de $F_2$'s de Cayley gráfico, pero quiero que los otros ejemplos.
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La cuestión puede haber sido un poco injusto e impreciso, pero no te puedo ayudar, que es realmente. Una de las razones podría ser injusto es que 'exhaustiva' es un poco subjetivo. Por ejemplo, yo no puedo señalar una estructura que $C_n$ natural actúa sobre ese $D_{2n}$ no podría ser concebida como actuar en el también; sin embargo, ambos grupos se sientan también en $S_n$ en más o menos canónica de la moda. Pero hay estructuras, tales como polígonos, que pensamos como $D_{2n}$ actuando de forma natural en lugar de $S_n$.
Estoy tratando de encontrar estructuras que, cuando pensamos en su 'natural' conjunto de simetrías, el grupo de estas simetrías sería isomorfo a un grupo libre. Yo quiero una par de ejemplos, como estoy un poco decepcionado de tener sólo el grafo de Cayley o finito de tuplas de palabras como una referencia. Otros grupos tienen muchos ejemplos de la actuación en la estructura. Por ejemplo, Klein cuatro grupo también podría llevarse a cabo como las simetrías de un rectángulo adecuado, $A_4$ puede ser comprendido como la rigidez de movimientos del tetraedro en lugar de el incluso permutaciones de 4 elementos conjunto.
Yo también no desea que estos ejemplos sean "baratos". Lo que quiero decir con esto es que la acción no es la que llegó quotienting por un subgrupo normal para obtener una acción que es más correctamente realizado por otro grupo.