¿En que las estructuras no grupo libre ' natural ' actuar?

Question

Una de las mejores maneras de conseguir una manija en un grupo se reconoce como isomorfo a un conjunto de simetrías de alguna estructura. El diedro grupo de orden $2n$ se reconoce fácilmente como el conjunto de simetrías de un regular $n$-gon, el grupo simétrico como las permutaciones de un conjunto, el de Klein-cuatro grupo como las simetrías de la 'cruz'---un par de opuestos puntas son más largos que los otros pares.

Las descripciones anteriores son también, en un sentido 'exhaustiva': cada "sensible" de la simetría podría concebir de esas estructuras está representado por algún elemento del grupo. Un ejemplo en el que el grupo no es exhaustiva sobre su estructura es $C_n$ más de la habitual $n$-gon (reflexión es que faltan) o $A_n$ sobre el conjunto de $n$ elementos.

Me gustaría saber de una estructura en la que un grupo de free---específicamente $F_2$---naturalmente actos en los que está también en un sentido 'exhaustiva'. Soy consciente de $F_2$'s de Cayley gráfico, pero quiero que los otros ejemplos.

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La cuestión puede haber sido un poco injusto e impreciso, pero no te puedo ayudar, que es realmente. Una de las razones podría ser injusto es que 'exhaustiva' es un poco subjetivo. Por ejemplo, yo no puedo señalar una estructura que $C_n$ natural actúa sobre ese $D_{2n}$ no podría ser concebida como actuar en el también; sin embargo, ambos grupos se sientan también en $S_n$ en más o menos canónica de la moda. Pero hay estructuras, tales como polígonos, que pensamos como $D_{2n}$ actuando de forma natural en lugar de $S_n$.

Estoy tratando de encontrar estructuras que, cuando pensamos en su 'natural' conjunto de simetrías, el grupo de estas simetrías sería isomorfo a un grupo libre. Yo quiero una par de ejemplos, como estoy un poco decepcionado de tener sólo el grafo de Cayley o finito de tuplas de palabras como una referencia. Otros grupos tienen muchos ejemplos de la actuación en la estructura. Por ejemplo, Klein cuatro grupo también podría llevarse a cabo como las simetrías de un rectángulo adecuado, $A_4$ puede ser comprendido como la rigidez de movimientos del tetraedro en lugar de el incluso permutaciones de 4 elementos conjunto.

Yo también no desea que estos ejemplos sean "baratos". Lo que quiero decir con esto es que la acción no es la que llegó quotienting por un subgrupo normal para obtener una acción que es más correctamente realizado por otro grupo.

Answer 1

$F_2$ actúa en un cierto mosaico del plano hiperbólico. Se ve algo como esto:

El de arriba mosaico es actuado por el modular grupo $\Gamma \cong \text{PSL}_2(\mathbb{Z})$, lo que, naturalmente, se sienta como un subgrupo dentro del grupo total $\text{PSL}_2(\mathbb{R})$ de las isometrías del plano hiperbólico. De manera abstracta, este grupo es el producto libre de $C_2 \ast C_3$. Tiene congruencia subgrupos $\Gamma(N)$ dado por la imagen del kernel del cociente mapas de $\text{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \text{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$$\Gamma$. Para $N \ge 2$ estos grupos actúan libremente en el plano hiperbólico, y la estructura topológica de sus cocientes son conocidos (que son uncompactified modular curvas, todo lo cual será compacto de las superficies de Riemann menos un número finito de puntos, y tanto en el género y el número de puntos que se quitan son conocidos). En particular, $\mathbb{H}/\Gamma(2)$ es conocido por ser $\mathbb{R}^2$ menos de dos puntos, grupo fundamental de la $F_2$. Por lo tanto

$$\Gamma(2) \cong F_2$$

actúa en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$. Usted puede encontrar fundamental de dominio para esta acción por tomar una unión de un número finito de dominios fundamentales para la acción de la $\Gamma$ (foto de arriba), y esto le da un mosaico del plano hiperbólico cuya automorphism grupo debe ser exactamente $\Gamma(2)$ (creo).

Los grupos que surgen de esta manera puede ser considerado como hiperbólico análogos de papel tapiz grupos.

En general, una forma interesante de encontrar un interesante espacio en el que un grupo de $G$ actos es encontrar un espacio de $X$ $\pi_1(X) \cong G$ y un vistazo a la acción de la $G$ en la universalización de la cobertura $\tilde{X}$, especialmente si $X$ adicional de la estructura de sus universalización de la cobertura para heredar. En el caso de $F_2$ podemos recoger $X$ a ser la cuña de dos círculos y este reproduce la acción de la $F_2$ en su grafo de Cayley, pero para otros tipos de espacios de $X$ tenemos más espacios interesantes. Por encima de nosotros en lugar de recoger $X$ $\mathbb{R}^2$ menos de dos puntos y obtener una acción en el plano hiperbólico; este es un caso especial de uniformización.

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Edit: tal vez una fácil descripción de lo que estoy hablando en términos de von Dyck grupos. En el disco de Poincaré modelo de la correspondiente mosaico se parece a esto:

$F_2$ (Edit:) el grupo de orientación de la preservación de las simetrías de este mosaico que puede ser obtenido por la rotación alrededor de los vértices de cualquiera de los triángulos. (El original de la declaración de que estaba aquí, estaba equivocado; el mosaico de arriba claramente admite una simetría rotacional de orden $3$, pero $F_2$ no tiene torsión. La resolución es que esta simetría rotacional corrige el origen, que no es un vértice.)