¿Hay alguna forma sencilla de entender la definición de Curvatura Gaussiana?

Question

Soy nueva en geometría diferencial y estoy tratando de entender la curvatura gaussiana. Las definiciones encontradas en Wikipedia y Wolfram son demasiado matemáticas. ¿Hay alguna manera intuitiva de entender la curvatura gaussiana?

Answer 1

Para una comprensión intuitiva, imagina una hoja de papel plana (o simplemente agarra una en tu mano). Tiene una curvatura gaussiana cero. Si tomas esa hoja y la doblas o la enrollas en un tubo o la retuerces en un cono, su curvatura gaussiana sigue siendo cero.

De hecho, dado que el papel no es particularmente elástico, prácticamente todo lo que puedas hacer a la hoja y aún te permita aplanarla de nuevo sin arrugas o rasgaduras, preservará su curvatura gaussiana.

Ahora toma esa hoja y envuélvela sobre una esfera. Notarás que debes arrugar la hoja, especialmente alrededor de los bordes, para que se ajuste a la superficie de la esfera. Eso se debe a que una esfera tiene una curvatura gaussiana positiva, por lo que la circunferencia de un círculo trazado en una esfera es menor que $\pi$ veces su diámetro. Las arrugas en el papel son donde debes doblarlo para deshacerte de ese exceso de circunferencia.

De manera similar, si intentaras envolver la hoja de papel sobre una superficie en forma de silla de montar, descubrirás que tendrías que rasgarla (o arrugarla en el medio) para hacer que se ajuste a la superficie. Eso se debe a que, en una superficie con curvatura gaussiana negativa, la circunferencia de un círculo es más larga que $\pi$ veces su diámetro, y así, para hacer que una hoja plana se ajuste a una superficie así, tendrías que rasgarla para aumentar la circunferencia, o arrugarla en el medio para reducir el radio.

De hecho, en la naturaleza, las plantas pueden producir hojas curvadas o arrugadas simplemente alterando la velocidad a la que crecen los bordes de la hoja en comparación con el centro, lo que altera la curvatura gaussiana de la superficie resultante, como en esta imagen de un repollo ornamental:

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Para más ilustraciones interesantes, mira por ejemplo estos dos artículos.

Answer 2

Una forma de ver la curvatura gaussiana $K$ es como un déficit de área, una comparación entre el área $\pi r^2$ de un disco plano de radio $r$, y el área de un disco geodésico en la superficie con radio intrínseco $r$. Sea $A(r)$ esta última área centrada en un punto de la superficie. Entonces $$K = \lim_{r \rightarrow 0} \frac {12 (\pi r^2 - A(r) )}{\pi r^4}$$ Puedes ver en el numerador el término $\pi r^2 - A(r)$ es exactamente el déficit de área. Así que en un punto donde $A(r)$ es más pequeño que el área plana, $K$ es positivo.

Esta formulación fue descubierta por Diquet. Hay una formulación similar basada en un déficit de circunferencia, debido a Bertrand y Puiseux.

Answer 3

Sé que estás buscando una explicación intuitiva, pero siempre he creído que la intuición debería provenir de hechos matemáticos concretos, si es posible. De lo contrario, no tienes forma de saber si la intuición que alguien te ofrece realmente coincide con las matemáticas formales. (En ese sentido, +1 para la respuesta de Joseph O'Rourke.)

La curvatura gaussiana, $K$, está dada por $$K = \kappa_1 \kappa_2,$$ donde $\kappa_1$ y $\kappa_2$ son las curvaturas principales. Solo con esta definición, sabemos algunas cosas:

• Para que $K$ sea un número positivo grande, entonces $\kappa_1$ y $\kappa_2$ deben ser grandes y tener el mismo signo (es decir, ambos positivos o ambos negativos).

• Para que $K$ sea cero, ya sea $\kappa_1 = 0$ o $\kappa_2 = 0$.

• Para que $K$ sea un número negativo grande, entonces $\kappa_1$ y $\kappa_2$ deben ser grandes pero tener signos opuestos.

Ahora recuerda que $\kappa_1(p)$ y $\kappa_2(p)$ son las curvaturas normales máxima y mínima de todas las curvas que pasan por $p$. Entonces:

• $K(p) > 0$ significa que las curvas a través de $p$ de curvatura normal extrema "curvan de la misma manera" (como la curva roja y la curva verde). Así que, los puntos en la región morada tienen $K > 0$. En cierto sentido, la superficie está formada como un paraboloide elíptico allí (como un tazón).

• $K(p) = 0$ significa que una de las curvas a través de $p$ de curvatura extrema tiene curvatura normal cero (como la curva amarilla). Así que, los puntos a lo largo de la curva amarilla tienen $K = 0$. En cierto sentido, la superficie está formada como un cilindro parabólico allí (como un trozo de papel doblado).

• $K(p) < 0$ significa que las curvas a través de $p$ de curvatura extrema "curvan en direcciones opuestas" (como la curva azul y la curva verde). Por ejemplo, los puntos en la región gris tienen $K < 0$. En cierto sentido, la superficie está formada como un paraboloide hiperbólico allí (una silla de montar).

De hecho, utilizando Indicatriz de Dupin (que en realidad es solo una expansión de Taylor de segundo orden) podemos hacer rigurosa la noción de ser "localmente similar" a un paraboloide elíptico, un cilindro o un paraboloide hiperbólico.

Answer 4

La curvatura de Gauss es la razón del ángulo sólido subyacente por la proyección normal de un pequeño parche dividido por el área de ese parche.

El hecho de que esta razón se base totalmente en la definición de distancia dentro de la superficie (independiente de la incrustación de la superficie; es decir, doblar y torcer, etc.) es el Theorema Egregium de Gauss.