¿Hay un bijection continuo de intervalo de unidad abierta para abrir el disco de la unidad?

Question

Me encontré con un problema pidiendo a la inversa de la titular de la pregunta:

Demostrar que no es continua bijection de$B_1(\mathbb{0}) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$$(0,1)$.

Esto lo hice de la siguiente manera:

Supongamos que por el bien de la contradicción que existe un mapa de $f$. Considerar el mapa de $g : B_1(\mathbb{0}) \setminus \{ \mathbb{0} \} \to (0,1) \setminus \{ f(\mathbb{0}) \}$$g(\mathbb{x}) = f(\mathbb{x})$. A continuación, $g$ es también un continuo bijection. La imagen continua de un conjunto conectado debe estar conectado, y el dominio está conectado, por lo que la imagen debe estar contenida en cualquiera de las $(0,f(\mathbb{0}))$ o $(f(\mathbb{0}),1)$, lo que contradice surjectivity. Por lo tanto, demostrado.

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Entonces me decidí a probar y comprobar la reclamación en la otra dirección:

P. ¿hay un continuo bijection $f : (0,1) \to B_1(\mathbb{0})$?

Pero, la misma idea de no trabajar.

Después de la eliminación de un punto del dominio y su imagen desde el codominio, tengo dos intervalos disjuntos, por un lado, y la conexión de un espacio en el otro. Traté de tomar un camino en el codominio de conectar dos puntos, cada uno acostado en la imagen de los dos componentes del dominio. Pero dado que la inversa de a $f$ no se supone que ser continua, no podía continuar.

No estoy seguro de qué hacer a continuación. Alguien me puede ayudar probar o refutar la reclamación? Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $(0,1)$ es el contable de la unión de los conjuntos compactos $\left[\frac1n,1-\frac1n\right]$ ($n>2$). Resulta que el interior de $C_n=f\left(\left[\frac1n,1-\frac1n\right]\right)$ está vacía. Supongamos lo contrario. Desde $\left[\frac1n,1-\frac1n\right]$ es compacto y $B_1(0)$ es Hausdorff, $f$ induce un homeomorphism de $\left[\frac1n,1-\frac1n\right]$ a $C_n$. Por lo tanto, la restricción de $f^{-1}$ a abrir una bola contenida en $C_n$ es un homeomorphism de que abra la pelota en $B_1(0)$ a un subconjunto de a $(0,1)$. Que no puede ser por la conexión argumento que usted ha mencionado.

Por eso, $f\bigl((0,1)\bigr)$ es una contables de la unión de conjuntos cerrados con vacío interior. Ahora, la Categoría de Baire Teorema nos dice que $f\bigl((0,1)\bigr)$ no puede ser $B_1(0)$.