límite en el infinito de una función meromorphic con residuos

Question

Que $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ diferentes puntos y que $f:\mathbb{C}\setminus{z_1,\dots,z_n}\to\mathbb{C}$ una función holomorfa.

Supongamos que $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$. Prueba que

$$\lim\limits{z\to\infty}zf(z)=\sum\limits{k=1}^n \operatorname{Res}_{z_k}(f)$$

Claramente, podemos mirar en $\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}f(\frac{1}{z})$. He leído algo sobre residuos en el infinito, pero no veo cómo usarlo.

Answer 1

Que $R>0$ sea un radio tal que todas la singularidades $z_j$ dentro del disco $D(0,R)$. (Centro $0$ y radio $R$) Por lo tanto, por el teorema del residuo, uno tiene

$$2i\pi \sum\limits{k=1}^n \operatorname{Res}{zk}(f) = \int{C(0,R)^+} f(z) dz.$$ Now perform a change of variable $z=1/w$ to get $$\int{C(0,R)^+} f(z) dz = -\int{C(0,1/R)^-} \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right) dw= \int_{C(0,1/R)^+} \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right) dw.$$ Since the $z_j$ were inside $D (0, R) $, it is clear that the $1/zj$ are now outside $D(0,1/R) $. Hence, the only singularity of $\frac {1} {w ^ 2} f \left (\frac{1}{w}\right)$ inside $D(0,1/R) $ is $0$. Hence, by the residue theorem again, one has $$\int{C(0,1/R)^+} \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right) dw = 2i\pi\operatorname{Res}{0}\left(w \mapsto \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)\right).$$ If we put everything together, we get $$\sum\limits{k=1}^n \operatorname{Res}_{zk}(f) =\operatorname{Res}{0}\left(w \mapsto \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)\right).$$ Now the only thing you have to prove is that $0 $ is a simple pole of $w # \mapsto \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right).$ Indeed if you do this, you will have $% $ $\operatorname{Res}{0}\left(w \mapsto \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)\right) = \lim{w\to 0} w \frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)=\lim_{z\to \infty}zf(z)$y se realizan. ¿Eres capaz de hacer eso?

Answer 2

Esos son los primeros pensamientos... por Desgracia no es una solución

Considerar el dominio $D$ limitado por un círculo de $C(R)$ centrada en el origen (con las agujas del reloj orientación) y con un radio de $R$ lo suficientemente grande como para que el disco de $D^\prime$ limita a contener $\{z_1,\dots,z_n\}$ y los pequeños círculos $C_1, \dots, C_n$ (orientado hacia la izquierda) centrados respectivamente en $z_1, \dots, z_n$ todos los contenidos en $D^\prime$. Como $f$ es holomorphic en $D$, usted tiene $$\begin{aligned} 0=\frac{1}{2i \pi}\int_{C(R)} f + \sum\limits_{k=1}^n \int_{C_n} f &= \frac{1}{2i \pi}\int_{C(R)} f+\sum\limits_{k=1}^n Res_{z_k}(f)\\ &= -R \int_0^{2 \pi} f(Re^{2i \pi t}) \ dt+ \sum\limits_{k=1}^n Res_{z_k}(f) \end{aligned}$$

Como $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$, para todos los $\epsilon >0$ usted puede encontrar $r >0$ tal que para $\vert z \vert \ge r$$\vert f(z) \vert \le \epsilon$. Por lo tanto, si $R \ge r$...

No sé cómo avanzar a partir de ahí ...