Límite de secuencia$a_1=1$ y$a_{n+1}=\frac{2a_n}{4a_n+1}$

Question

Estoy leyendo Sudhir R. Ghorpade y Balmohan V. Limayes: Un Curso de Cálculo y Análisis Real y corrió hacia un pequeño problema con el ejercicio 9 iii del capítulo 2.

Se nos pide encontrar el límite de la siguiente secuencia

$$a_1=1$$

$$a_{n+1}=\frac{2a_n}{4a_n+1}$$

Para empezar, voy a mostrar que

$$a_{n+1}-a_n = \frac{2(a_n-a_{n-1})}{(4a_n+1)^2}$$

Ahora, desde la $a_n \leq 1$, tenemos que $$4a_n+1 \leq 5$$

Que puedo usar para derivar la desigualdad

$$|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{2}{25}|a_n - a_{n-1}|$$

Esto, anterior por un resultado en el capítulo, implica la sucesión es de Cauchy y por lo tanto convergente.

Deje $a_n \to a$, $a_{n+1} \to a$ y podemos reescribir $$a_{n+1}=\frac{2a_n}{4a_n+1}$$ $$a=\frac{2a}{4a+1}$$

La solución para que un da las soluciones $0$$1/4$.

Cómo hago para saber cual es el correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $an\geqslant\frac14$, then$$a{n+1}-\frac14=\frac{2a_n}{4a_n+1}-\frac14=\frac{4a_n-1}{4(4an+1)}\geqslant0.$$So, $a{n+1}\geqslant\frac14$. Since $a_1 > \frac14$, this proves that $(\forall n\in\mathbb{N}):a_n\geqslant\frac14$. Therefore, the limit is $\frac14$.

Answer 2

Que $b_n=\frac1{an}$ (es posible porque la fórmula de recursión no puede producir cero de entrada distinto de cero). Entonces es más fácil ver que $$b{n+1}=\frac{4a_n+1}{2a_n} =2+\frac1{2a_n}=2+\frac12b_n.$ $b_n\to 4$ $, supongo (o al menos limita que $b_n$ y $an\not\to 0$). De hecho, $$ b{n+1}-4=-a+\frac12b_n=\frac12(b_n-4)$ $ para que % $ $$b_n-4=2^{-n}(b_0-4). $