Resolviendo

Question

Estoy luchando con problemas dada la ecuación trigonométrica

$$\cos(3x) = \cos(2x)$$

Echemos un vistazo a las identidades trigonométricas que podemos utilizar:

$$\cos(2x) = 2\cos^2-1$$

y

$$\cos(3x) = 4\cos^3(x) -3\cos(x)$$

Enchufar en la ecuación y tenemos que

$$4\cos^3(x) -3\cos(x) = 2\cos^2(x)-1$$

$$4\cos^3(x) -3\cos(x) - 2\cos^2(x)+1= 0$$

Recordando $t = \cos (x)$,

$$4t^3-2t^2-3t +1 = 0$$

Que es una ecuación cúbica. Su sinceramente ayuda será apreciada.

¡Saludos!

Answer 1

Por la definición de la función coseno tenemos

$$\cos \alpha = \cos \theta \iff \alpha = \theta +2k\pi \, \lor \, \alpha = -\theta +2k\pi \quad k\in \mathbb{Z}$$

y así

$$\cos(3x) = \cos(2x)\iff 3x=2x+2k\pi \, \lor \, 3x=-2x+2k\pi \quad k\in \mathbb{Z}$$

Es decir

• $x=2k\pi$
• $x=\frac25 k\pi$

Answer 2

El % de igualdad $\cos(3x)=\cos(2x)$es obviamente cierto cuando $x=0$ y así cuando $t=1.$ por lo tanto el polinomio $$ 4t ^ 3-2t ^ 2-3t +1 $$ tiene $t=1$ como uno de sus ceros. Por lo tanto pueden tenerse: $$ 4t ^ 3-2t ^ 2-3t +1 = (t-1)(\cdots\cdots\cdots) $$ los otros ceros son los de una cuadrática Polinómico, escrito aquí como $(\cdots\cdots\cdots).$

Answer 3

Sugerencia

Puede utilizar equivalencia suma producto. Que es:

$$\cos(A)-\cos(B)=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $ así,

$$\cos(3x)-\cos(2x)=0\to-2\sin\left(\frac{3x+2x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-2x}{2}\right)=0$$

$$\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$ $ así,

$$\sin\left(\frac{5x}{2}\right)=0 \text{ or } \sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$$

Answer 4

Llamar a

$$ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$

Tenemos

$$ e ^ {3ix} + e ^ {-3i x} = e ^ {2ix} + e ^ {-2i x} $$

o llamando al $z = e^{ix}$

$$ z ^ 6 +1 = z ^ 5 + z\to z ^ 6 z ^ 5-z +1 = (z-1)^2(z^4+z^3+z^2+z+1) = (z^5-1)(z-1) = 0 $$

por lo tanto las soluciones son obvias.

$$ x = \frac{2\pi}{5}k,\;\; \mbox{for}\;\; k = 0, 1, 2, \cdots $$

Answer 5

Para complementar gimusi fina de respuesta, hay otros casos en los que los métodos simples de trabajo:

1. $\cos f(x)=\cos g(x)$
2. $\sin f(x)=\sin g(x)$
3. $\tan f(x)=\tan g(x)$
4. $\sin f(x)=\cos g(x)$
5. $\cot f(x)=\tan g(x)$

donde $f(x)$ $g(x)$ son expresiones relacionadas con el desconocido $x$.

La ecuación 1 tiene las soluciones $$ f(x)=g(x)+2k\pi \qquad\text{o}\qquad f(x)=-g(x)+2k\pi $$

La ecuación 2 tiene las soluciones $$ f(x)=g(x)+2k\pi \qquad\text{o}\qquad f(x)=\pi-g(x)+2k\pi $$

La ecuación 3 tiene las soluciones $$ f(x)=g(x)+k\pi $$ (por supuesto, también se tiene excluir los valores de $x$ que hacen de $\tan f(x)$ o $\tan g(x)$ indefinido).

Dos ángulos que tienen el mismo coseno si y sólo si los puntos en el círculo unidad corresponden a tienen el mismo $x$-coordinar; dos ángulos tienen la misma condición sine si y sólo si los puntos en el círculo unidad tienen el mismo $y$-coordinar. El $2k\pi$ o $k\pi$ plazo, con $k$ un entero, representa la periodicidad.

¿Qué acerca de una ecuación de la forma $\sin f(x)=\cos g(x)$? Podemos recordar que $\sin\alpha=\cos(\pi/2-\alpha)$, por lo que podemos reducir a $$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-f(x)\right)=\cos g(x) $$ que es de tipo 1 anterior.

Del mismo modo, $\cot f(x)=\tan g(x)$ puede llegar a ser $$ \tan\left(\frac{\pi}{2}-f(x)\right)=\bronceado g(x) $$ es decir, el tipo 3 de arriba.