¿Cómo explicar los números irracionales a los profanos?

Question

Estoy tratando de describir cómo los números irracionales, que se modelan todos como una serie de fracciones, no pueden ser fracciones en sí mismos, y en cambio forman parte de un grupo único de "números decimales" fuera de las fracciones, llamados números irracionales. Estoy confundido en este momento.

---

Según Wikipedia, algunos ejemplos de números irracionales incluyen:

• $\sqrt 2$
• la razón áurea
• La raíz cuadrada de todos los números naturales que no son cuadrados perfectos
• Logaritmos

Luego dicen:

Casi todos los números irracionales son trascendentales y todos los números trascendentales reales son irracionales. Ejemplos incluyen $e^\pi$.

Los números racionales son fracciones, que están incluidas en el conjunto de números irracionales. Sin embargo, los números irracionales son decimales e incluyen cosas que "no pueden representarse como fracciones", parece.

Pero donde estoy confundido es, la raíz cuadrada de 2 puede representarse por una serie de fracciones:

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$$

De manera similar, $\pi$ puede representarse por una serie de fracciones:

$${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \,=\,{\frac {\pi }{4}}.}$$

Finalmente, el logaritmo natural se puede escribir como una serie de fracciones:

$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$$

Ha pasado un tiempo desde que he sumado/restado/multiplicado/dividido fracciones, pero por lo que recuerdo, hacer cualquiera de esas operaciones resulta en una nueva fracción. Entonces me pregunto qué estoy omitiendo al intentar entender los números irracionales. Si los números irracionales pueden representar números no fraccionarios, sin embargo, ellos mismos están representados por una serie de fracciones, parece que el resultado de la serie en sí mismo sería una fracción, por lo que los números irracionales son todos números racionales. Busco una comprensión de cómo explicar la diferencia entre números racionales e irracionales. Intenté decir "los irracionales son números decimales que no se pueden representar con una fracción", pero luego, al definir los números racionales (números fraccionarios), no pude explicar cómo, si todos los números irracionales son definibles como una serie de fracciones, ellos mismos no son representables como fracciones. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Los números racionales son valores que pueden escribirse como una relación (fracción) de dos números enteros. Los irracionales son aquellos valores que no pueden.

Fin de la historia.

El primer truco es darse cuenta de que hay valores que no pueden ser (Pitágoras no quería creerlo). Pero si lanzas un dardo a algo que tiene una milla de ancho, ¿cuál es la probabilidad de que alcance un valor que sea exactamente una relación de dos números enteros? Si lo ponemos de esa manera parece escasa.

Pero el segundo truco es preguntarse, si el valor no es una relación de números enteros, entonces ¿qué es y cómo podemos expresarlo? Lo más difícil para los novatos es entender que esa pregunta no tiene respuesta. No podemos expresarlos.

Pero las fracciones pueden ser hechas al menos tan pequeñas y más pequeñas que cualquier cosa que nos guste. Eso significa que aunque no podemos expresar todos los valores, podemos expresar una fracción racional que puede ser al menos tan cercana al valor como quisiéramos.

Ahora los decimales son solo fracciones. $0.1=\frac 1 {10} $ y $0.3769=\frac {3769}{10000} $. Podemos llegar tan cerca de expresar todos los valores tomando decimales más y más largos. Pero nunca podremos expresar un irracional con decimales. En cambio, cada irracional tiene una cadena infinita de decimales que se acercan a él en cualquier grado posible.

Y eso es lo que queremos decir con un número irracional siendo una serie de fracciones racionales. Para cada número irracional podemos encontrar una serie (no solo una; muchas series: la expresión decimal es una de ellas) de números racionales acercándose cada vez más y enfocándose en el irracional y no en otra cosa. La serie es infinita y si fuéramos dioses inmortales existiendo fuera del tiempo y el espacio podríamos ver toda la serie infinita a la vez y ver cómo converge precisamente a los números irracionales. Pero no somos dioses inmortales fuera del espacio, así que no podemos. Pero sabemos que lo hace.

Answer 2

Comencemos por definir de manera precisa la palabra "(ir)rational", ya que a veces se presenta de manera confusa. Un número racional es una razón de enteros: $a$ es racional si existen enteros $x, y$ tales que $a={x\over y}$. Cada número se puede escribir como una fracción, es la parte "de enteros" la que es crucial. Ciertamente, cada número con una expansión decimal terminante (= finita) es racional: para entender por qué, piensa en el ejemplo (completamente arbitrario) $$254.1345987={2541345987\over 10000000}.$$ (¡Observa cuánto más claro es esto que "un número racional es una fracción"!)

Pasando a la otra parte de tu pregunta: solo porque un número sea un "límite" (¡lo cual se puede precisar!) de números racionales no significa que en sí mismo sea un número racional. De hecho, cada número es un límite de números racionales (es decir, los racionales son densos en los reales) de una manera muy simple: ¡tan solo considera representaciones decimales cada vez más largas! Por ejemplo, $\pi$ es el límite de la secuencia $$3, {31\over 10}, {314\over 100}, {3141\over 10000},...$$

En general, solo porque $a$ sea un límite de cosas con la propiedad $P$ no significa que $a$ en sí mismo tenga la propiedad $P$.

EDICIÓN: En este punto, puede ser útil ver un ejemplo explícito de un "argumento de límite ingenuo" fallando. Consideremos las expansiones decimales terminantes. Es fácil mostrar que un número $a$ tiene una expansión decimal terminante si y solo si $a$ puede escribirse como $p\over q$ donde $p, q$ son enteros y $q$ es una potencia de $10$. Por ejemplo, ${3\over 50}$ cumple con esto ya que ${3\over 50}={6\over 100}$ y $100$ es una potencia de $10$.

Ahora piensa en el número $1\over 3$. Este no tiene una expansión decimal terminante - su expansión decimal (única) es $0.33333...$. Sin embargo, podemos escribirlo como $${1\over 3}=0.3+0.03+0.003+0.0003+...$$ y $0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, ...$ todas tienen expansiones decimales terminantes. Alternativamente, podríamos escribir ${1\over 3}$ como el límite (nuevamente, en un sentido riguroso que no definiré aquí) de la secuencia $$0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...$$ y cada término de esta secuencia tiene una expansión decimal terminante. Así que podemos ver que aunque ${1\over 3}$ puede ser "aproximado por" o "construido a partir de" números con expansiones decimales terminantes, en sí mismo no tiene una expansión decimal terminante.

(Otro ejemplo: $0$ es un límite de números positivos, pero no es positivo. Y así sucesivamente.)

---

Observa que ninguno de estos puntos aborda la cuestión de cómo sabemos que existen números irracionales; eso es un problema separado. Hay algunos números que podemos demostrar rigurosamente que son irracionales, y más abstractamente hay una técnica en teoría de conjuntos que muestra que la mayoría de los números son irracionales (y la mayoría de los números son trascendentales, y ...) en un sentido preciso. Pero eso es un asunto aparte.

Answer 3

Cualquier suma finita de números racionales es racional. Incluso si es una suma de millones o cuatrillones de números racionales. Creo que el paso más difícil de comprender es entender el límite que finalmente lleva de solo números racionales al número irracional.

Sin embargo, ¿qué significa incluso agregar infinitos números racionales? Esto no está claro a priori y necesita una definición. Veamos cómo motivar una.

Algunas sumas racionales parecen tender a otro número racional:

$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots.$$

las sumas parciales $1$ y $1+\frac12=1.5$ y $1+\frac12+\frac14=1.75$ y así sucesivamente se acercan a $2$ desde abajo pero nunca lo superan. Por lo tanto, se definió que esta secuencia converge al número $2$. Esta es simplemente una definición, pero motivada por la observación.

Cada vez que vemos una secuencia de números acercándose cada vez más a un número racional $x$ (precisamente: arbitrariamente cerca, y permaneciendo allí), entonces este número $x$ se llama el límite de la secuencia. Nuevamente, esto es solo una definición.

Teniendo estas definiciones en su lugar, uno descubre luego que hay secuencias que tienen propiedades extrañas:

• la secuencia se comporta como una secuencia convergente de números racionales en muchos aspectos, por ejemplo, está dando pasos cada vez más cortos con el tiempo, etc. (ver secuencia de Cauchy)
• parece no haber un número racional al que esta secuencia se acerque cada vez más.

Así que tenemos dos opciones. O aceptamos que existen secuencias "convergentes" extrañas que no convergen hacia nada, O inventamos nuevos números que llenen estos vacíos. Estos números son los números irracionales. Por ejemplo,

$$3+0.1+0.04+0.001+0.0005+0.00009+\cdots =: \pi.$$

Por lo tanto, recomiendo pensar en ello de manera diferente. No hay secuencias/sumas racionales extrañas que repentinamente dejen de ser racionales, sino que el número irracional se colocó precisamente allí donde está para darle a esta secuencia un límite en primer lugar. La observación sorprendente, por lo tanto, es que sin este número irracional en su lugar, no hay nada a lo que esta secuencia/serie eventualmente converja. Tal vez aceptar que algunas sumas infinitas específicas no convergen en absoluto (mientras tampoco oscilan ni divergen a $\pm\infty$) sea más comprensible.

Answer 4

Yo me mantendría alejado de explicaciones que involucren series infinitas, ya que eso solo agrega otra "cosa matemática mística" con la que lidiar.

¿Qué tal si comenzamos con la definición de un número racional, es decir, la razón de 2 enteros, y luego pasamos por la simple demostración (por contradicción) de que $\sqrt{2}$ es irracional?

Answer 5

Corta una cuerda de modo que su longitud sea igual al diámetro de la rueda. Envuelve la cuerda a lo largo del borde de la rueda y haz una marca en cada extremo. Luego, úsala para medir la longitud de la curva desde el extremo en sentido horario, yendo más allá en la dirección horaria una distancia igual a la longitud de la cuerda, y haz la próxima marca. Y la siguiente de la misma manera. Y así sucesivamente. Después de medir $22$ veces la longitud de la cuerda, habrás dado aproximadamente siete vueltas al círculo y estarás cerca de tu punto de inicio, pero no exactamente en el mismo punto. Sigue así. ¿Alguna vez llegarás al mismo punto dos veces? Que $\pi$ sea irracional simplemente significa que no lo harás.