Si $a+b+c$ divide el producto $abc$ , entonces es $(a,b,c)$ ¿un triple pitagórico?

Question

En primer lugar, definiré lo que Triples pitagóricos son para los que no saben.

Definición:

Un triple pitagórico es un grupo de tres enteros $a$ , $b$ y $c$ tal que $a^2+b^2=c^2$ Desde que el Teorema de Pitágoras afirma que para cualquier $90^\circ$ triángulo (rectángulo) $ABC$ con los lados $a$ , $b$ y $c$ Siempre se tendrá la ecuación, $a^2+b^2=c^2$ .

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Estaba mirando los triples pitagóricos y me di cuenta de otra propiedad aparte de cómo $a^2+b^2=c^2$ . Aquí están los primeros $30$ Triples pitagóricos $(a,b,c)$ ordenados de menor a mayor valor, es decir $$(a,b,c)\qquad\text{ s.t. }\qquad a<b<c.\tag*{$ \N - (\N - texto = tal que \N - grande) $}$$

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Me he dado cuenta de que $a^2=(c+b)(c-b)$ pero eso es trivial ya que $$\begin{align}a^2&=(c+b)(c-b)\tag{given} \\ &=c^2-b^2 \\ \Leftrightarrow\,\,\,\, a^2+b^2&=c^2.\end{align}$$

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Sin embargo, también me he dado cuenta de que al tener " $u\mid v$ " se lea como " $u$ divide $v$ ", parece que $$a+b+c\mid abc.$$ Por ejemplo, $(a,b,c)=(3,4,5)$ es un clásico triple pitagórico; $3^2+4^2=5^2$ .

También, $$\begin{align}3+4+5&=12 \\ \& \quad3\times 4\times 5 &= 60. \\ \\ 12 &\,\mid 60 \\ \Leftrightarrow \,\,\,\,3+4+5&\,\mid 3\times 4\times 5.\end{align}$$ Esto, no puedo probar que sea cierto $-$ pero he probado con todos los $30$ Triples pitagóricos arriba, y no he encontrado ningún contraejemplo. ¿Hay alguna prueba? Yo mismo no sé por dónde empezar.

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Conjetura:

Dados tres enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ Si $a < b<c$ y $a^2+b^2=c^2$ entonces $$a+b+c\mid abc.$$

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Gracias de antemano.

Editar:

Mi conjetura era originalmente al revés; es decir, si $a+b+c\mid abc$ entonces $a^2+b^2=c^2$ . Pero $6$ es un contraejemplo, concretamente porque es un Número perfecto .

Answer 1

En realidad lo quieres al revés: si $a^2+b^2=c^2$ entonces $a+b+c|abc$ . Que se puede demostrar muy rápidamente a partir de la forma general de los triples pitagóricos primitivos $(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ .

Answer 2

Alternativamente: $$\frac{abc}{a+b+c}=\frac{abc(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{abc(a+b-c)}{2ab}=\frac{c(a+b-c)}{2},$$ que es un número entero positivo para ambos casos: $a,b,c$ son todos parejos; $a,c$ son impar y $b$ está en paz.