En la construcción de una elipse

Question

¿Usted sabe cómo cuando se construye una elipse, una cuerda, fijar en 2 puntos y estira esa cuerda?

Cuando se está estirando la cuerda, digamos la parte de la cadena de atado para el primer punto d1 y la parte de la cadena sujeta a la d2 punto segundo (sé que es la misma cadena ser oso sólo conmigo).

Mi pregunta es, ¿por qué es el más alto punto de la elipse formada cuando d1 = d2? ¿Por qué es esto?

Answer 1

La altura de un punto de $P$ de la elipse está dado por la intersección de los dos círculos de ecuaciones $$\begin{cases} (x+d/2)^2 + y^2 = d_1^2\\ (x-d/2)^2 + y^2 = d_2^2 \end{casos}$$

donde $(-d/2,0), (d/2,0)$ son los puntos donde las cadenas se unen. Y $d_1+d_2=a$ es una constante (la longitud de la cadena) de más de $d$. Estás buscando el máximo de $y$ y quieren demostrar que se obtiene al $x=0$.

Así $$f(x,y)=\sqrt{(x+d/2)^2 + y^2} + \sqrt{(x-d/2)^2 + y^2}=a$$

$y$ está implícitamente definido a través de $f$ como una función de la $x$. Usted tiene $$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x+d/2}{\sqrt{(x+d/2)^2 + y^2}} + \frac{x-d/2}{\sqrt{(x-d/2)^2 + y^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{(x+d/2)^2 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{(x-d/2)^2 + y^2}} \end{casos}$$

La fórmula General para la derivada de la función implícita nos dice que $$y^\prime(x) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$$ Por lo tanto, $y^\prime(x)$ se desvanece al $\frac{\partial f}{\partial x}$ se desvanece, que es para $x=0$ como se desee. Y en ese caso, $d_1^2=d_2^2=d^2/4+y^2 = a^2/4$.

Answer 2

Un enfoque que es algo rotonda, pero evita el cálculo sería:

Primero probar que una elipse es un círculo aplastado. Esto muestra que la elipse tiene un único punto más alto (porque, ciertamente, un círculo que hace, y aplastándola la $y$-coordina de manera uniforme en todas partes no cambia los puntos que están más altos que otros).

Sin embargo, si el punto con distancias de $d_1$ $d_2$ es más alto, entonces por simetría el punto con distancias de $d_2$ $d_1$ es tan alta. Y si $d_1\ne d_2$ que son diferentes puntos y no pueden ambos ser más alto, una contradicción.

Answer 3

Sin cálculo.

1) El "punto más alto" se alcanza cuando la tangente a la elipse en ese punto es "horizontal", es decir, paralelo a la línea que contiene a los focos $A$$B$.

2) La recta perpendicular a la tangente en a $P$ (también conocido como "normal") es la bisectriz de $\angle APB$ (esto puede ser probado sin cálculo).

3) por lo tanto el punto más alto $P$ es que con la bisectriz de $APB$ perpendicular a $AB$, que es al $AP=BP$.

Answer 4

En un problema de optimización (cálculo de variaciones) una extremization $y$ coordinar

$$ y= b \sqrt{1- (x/a)^2} $$

es posible cuando se sujeta a una restricción función $ (d_1+d_2)=$

$$ \sqrt{(x-c)^2 + y^2 }+ \sqrt{( (x+c)^2 + y^2 } $$

$ a^2= b^2+ c^2 $ veremos que sucede cuando las contribuciones de $d_1$ y $d_2$ son iguales.

Es como decir que área de un rectángulo de determinado perímetro es máximo cuando la longitud es igual a la anchura.

Answer 5

Si un triángulo con los vértices de la base en los dos focos $B,C$ de la elipse no es isósceles, entonces la bisectriz de un ángulo en el vértice superior $A$ es diferente de la altitute en $A$. Por lo tanto, la recta perpendicular a la bisectriz de un ángulo, que es la línea tangente a la elipse resultante, no es horizontal. Moviendo $A$ una cantidad infinitesimal a lo largo de la tangente de la línea será el resultado en sólo un segundo cambio de orden en la suma de las distancias a$B$$C$, pero que se traducirá en un primer orden de cambio en la altitud. Por lo tanto en un punto de máxima, triángulo $ABC$ tiene que ser isósceles.