Confusión sobre Tao ' construcción s de reales

Question

Antecedentes:

Actualmente estoy estudiando real el análisis de uso de Tao Análisis del Volumen y hasta el momento estoy disfrutando de mí mismo, aunque me parece que se han ejecutado en un poco de confusión sobre el profesor Tao de la construcción de los reales utilizando racionales. La siguiente es la definición de reales de los que se proporciona en el texto:

$\DeclareMathOperator*{\LIM}{LIM}$Definición 5.3.1 (números Reales). Un número real es definido como un objeto de la forma $\LIM\limits_{n → ∞} a_n$ donde $(a_n)_{n = 1}^∞$ es una secuencia de Cauchy de números racionales. Dos números reales $\LIM\limits_{n → ∞} a_n$ $\LIM\limits_{n→∞} b_n$ se dice que ser igual iff $(a_n)_{n = 1}^∞$ $(b_n)_{n = 1}^∞$ son equivalentes secuencias de Cauchy. El conjunto de todos los números reales se denota $\mathbb{R}$.

Problema:

Mientras husmeando por internet he encontrado que un número real es en realidad una clase de equivalencia de secuencias de racionales cuyos términos puede ser arbitraria cerca el uno del otro yo.e $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ son equivalentes si y sólo si $$\forall ε>0, \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{such that} \ \forall n \ge N, \ |a_n-b_n|\leq ε.$$ Pero Tao de la definición parece sugerir que los números reales son los límites de dichas secuencias para qué son?

Answer 1

Este es un muy formal de la definición de los números reales (por CIERTO hay otros, buscar "Dedekind recortes").

"¿Son ellos"? - bueno, ellos son exactamente lo que él dijo: objetos del formulario de ${\rm LIM}_{n\to\infty}a_n$. Es decir, que no son nada más ni menos que una L en mayúscula, seguido por una I mayúscula, seguido por una M mayúscula, seguido por... usted consigue el punto. Y como esta es la definición de los números reales, hay (en este punto, y dentro del contexto de Tao del libro) nada más que sabemos acerca de ellos.

Por supuesto, el Tao no elegir las letras L,I,M al azar: él quiere ayudar a hacer la conexión entre $${\rm LIM}_{n\to\infty}a_n$$ racional,$a_n$, que es la definición de un número real, y $$\lim\nolimits_{n\to\infty}a_n$$ posiblemente real $a_n$, que es la definición de un límite (Tao 6.1.8). Tenga en cuenta que aquí tenemos minúsculas l,i,m, porque es un concepto diferente.

En otras palabras, es como se dijo en su pregunta:

Pero Tao de la definición parece sugerir que los números reales son los límites de dichas secuencias...

...que él desea sugerir esto antes de que él realmente ha definido el concepto de un límite. (Así que, ya sea deliberadamente o no, se utiliza exactamente la palabra correcta!!!)

Usted probablemente sabe mucho acerca de los límites de cursos anteriores: usted debe tener en cuenta todo lo que sabe y ver cómo encaja con lo que el Tao está haciendo, pero recuerda que "oficialmente" no sabes lo que son los límites, porque el Tao no se ha definido todavía.

Answer 2

Tao es evitando el uso de la frase "la equivalencia de la clase", pero lo que describe es sólo eso.

Él dice llevar una secuencia y lo llaman un "objeto". El objeto tiene las letras L-I-M que por alguna extraña coincidencia son las tres primeras letras de "límite", pero que es totalmente casual. (Mira al techo y silbatos.) Dos de estos objetos se declaran para ser "iguales" si la secuencia que la representan son equivalentes (presumible dos secuencias se define como "equivalente" en la página anterior; [$*$]).

Así que si usted piensa de los dos objetos con diferente pero equivalente secuencias y de "ser lo mismo" todos los objetos con secuencias equivalentes a los que son "lo mismo" y esto es una clase de todas las secuencias que son equivalentes

Por lo tanto... una clase de equivalencia.

Y eso es todo, un número real es uno de estos LIM objetos que representan una secuencia de Cauchy y todos los otros LIM objetos que representan la secuencia de Cauchy que son equivalentes.

===

$[*]$ Asumo "equivalente" se define como algo parecido a $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son equivalentes si para cualquier $\epsilon > 0$ hay un $N > 0$, de modo que para todos los $n > N$ tenemos $|a_n - b_n |< \epsilon$.

Answer 3

¿Cuáles son los objetos matemáticos? La respuesta puede sorprender. Más sobre esta historia esta noche.

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Los objetos matemáticos son objetos matemáticos.¹ a partir De un fundamental punto de vista, a veces nos queremos comenzar con algunos atómica noción, y argumentan que podemos definir el resto de la matemática del universo en términos de los objetos.

Estos pueden ser conjuntos, como se hace en la teoría de conjuntos, o puede ser de varios tipos como se ha hecho en el tipo de teoría, y así sucesivamente.

En última instancia, el objetivo es "reducir la existencia a algo más creíble". Es decir, si usted cree que los números racionales tienen sentido, y que algunas de las construcciones básicas sentido (por ejemplo, secuencias de Cauchy), entonces esto es una prueba de por qué usted debe creer que los números reales sentido.

Seguro, usted puede preguntar por qué los números racionales sentido. A continuación, puede retroceso a los enteros, entonces a los números naturales, y sólo se puede aceptar que, o caer en el conjunto vacío como se ha hecho en la norma de construcciones en la teoría de conjuntos.

Pero siempre es algo de la forma:

1. Si usted está de acuerdo conmigo sobre la validez de este objeto, y
2. usted está de acuerdo conmigo sobre la validez de este método, a continuación,
3. usted está de acuerdo conmigo sobre la validez de este nuevo objeto.

Así que los números reales pueden ser clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, debido a que es una forma de construcción de los números reales. O los números reales pueden ser Dedekind-cortes, o no vacío de un adecuado segmentos inicial. O cualquier otra cosa.

Lo importante, sin embargo, es que podemos probar que todos ellos son "el mismo". Es decir, si usted construcción de los números reales utilizando uno de los métodos, y yo construir los números reales utilizando un método diferente, entonces hay una estructura de la preservación de la manera de identificar las dos versiones de los números reales.

Así, son los números reales de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales? son Dedekind recortes de los números racionales? Son conjuntos o tipos, o alguna categoría? Tal vez ellos son atómicas a las matemáticas como los números naturales, y así que los números reales son sólo eso, "los números reales"?

La respuesta es que no importa. Como siempre y cuando satisfagan las propiedades que "esperar" los números reales a satisfacer.

 

Permítanme terminar señalando que el Tao no sugieren que los números reales son los límites de estas secuencias de Cauchy. Los límites sólo están definidas dentro de un espacio en particular (por ejemplo, $0$ no es el límite de $\frac1n$ en el espacio de $(0,1)$, simplemente porque $0$ no es un punto en ese espacio).

Pero Tao está preparando el terreno para demostrar que todo número real es el límite de una secuencia de Cauchy de números racionales. Pero en ese momento, esto es sólo una notación de los números reales que se define a partir de una determinada secuencia de Cauchy.

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Notas a pie de página.

1. Me dijo que puede sorprender. No es que va a sorprender.

Answer 4

Como se menciona en algunas de las otras respuestas, notación de Tao es simplemente un sustituto para hablar sobre las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales. Es posible que su motivación aquí por su noción de ultralimit, que se puede utilizar para definir los hyperreals. Así, igualmente se definirá un hiperreal como $\mathbf{ULTRALIM} (a_n)$ $(a_n)$ Dónde está una secuencia de números verdaderos.

Answer 5

Tao de la definición es problemática. No hay nada confuso acerca de la identificación de los números reales directamente como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, que es bastante estándar.

En última instancia, la cuestión filosófica de lo que los objetos matemáticos son en realidad está sin resolver. Pero el problema es al menos mejor enfocado si definimos todos nuestros objetos como conjuntos; y de clases de equivalencia de Cauchy secuencias son conjuntos.

Un problema con el Tao de la definición es que se identifica objetos matemáticos con la notación. Y ¿cuál es la notación? Es la tinta? es una forma geométrica? Es un prescritive regla para escribir? Es un patrón cultural? Y así sucesivamente.

Otro problema con el Tao del enfoque es que la idea de la equivalencia de la clase, hecho matemáticamente explícita en el enfoque estándar, es barrido a un lado; y el desafío que ${\rm LIM}_{n\to\infty}a_n$ no es lo mismo que ${\rm LIM}_{n\to\infty}b_n$ como notación se descarta como inconseqential. Si permitimos que esa informalidad, estamos en la pendiente resbaladiza de volver a la noción de sentido común de los números reales que nonmathematicians están contentos con el.

Para exhaustividad, cabe mencionar también el tema aparte de la arbitrariedad de los Cauchy-secuencia de definición. La definición de Dedekind recortes (y hay otros) que podría decirse que es igual de bueno, y esto también puede ser hecho puramente conjunto teórico. Algunos matemáticos señalar que el modo de construcción es una distracción, y que lo que realmente importa es la estructura de las operaciones y de las relaciones dentro de los reales. Hay algo que decir para definir los reales como un completo archimidean ordenó campo, con la adecuada inserción de los racionales, demostrando que cualquiera de las dos objetos son isomorfos, y que de Cauchy de las secuencias de (digamos) un modelo de ellos (para demostrar que la definición no es vacuo). Pero tratando de evitar la selección de cualquier tipo de construcción se abre más problemas-aparte de la de los pobres de edad, estudiante, tratando de aprender de análisis, al no querer llevar cualquier filosófico más equipaje de lo necesario.