Encontrar el campo división del polinomio $x^5+2x^4+5x^2+x+4$ $F_{11}$.

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Encontrar el campo división del polinomio $f(x)=x^5+2x^4+5x^2+x+4$ $F_{11}$.

Lo que he hecho: hasta ahora he encontrado que $-2$ es la única raíz de $f(x)$ $F{11}$. Yo también he incluido $f(x)$ $f(x)=(x+2)(x^2+5x+1)(x^2-5x+2)$ $F{11}$.

Al parecer el campo División de $f(x)$ $F{11}$ es $F{11^4}$. Puede alguien ayudarme a entender cómo se puede concluir.

Answer 1

El polinomio $x^2+5x+1$ no tiene ninguna raíces en $F_{11}$: de hecho $$ x ^ 2 +5 x +1 = x ^ 2-6 x +9-8 =(x-3) ^ $ y $8$ 2-8 no son un cuadrado modulo $11$.

Del mismo modo, $x^2-5x+2=x^2+6x+9-7=(x+3)^2-7$ $7$ no es una plaza modulo $11$.

Añadir una raíz de $x^2+5x+1$ es igual a agregar una raíz cuadrada de $2$. Los elementos son de la forma $a+b\sqrt{2}$, y debemos si $7$ es una plaza aquí: tratar y resolver $$ (a + b\sqrt {2}) ^ 2 = 7 $ y usted tendrá su respuesta.

Answer 2

Estamos considerando el campo $F_{11}(\alpha,\beta)$ %#% de fueron #% y $\alpha^2 + 5\alpha +1=0$. Vamos a ver que %#% $ #%

De hecho sumando las ecuaciones obtenemos $\beta^2 - 5\beta +2=0$$$F{11}(\alpha,\beta)=F{11}(\alpha+\beta)$ (\alpha + \beta)$$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta + 5)=1$ (\alpha - \beta + 5)$ which means that these elements are inverse one another, thus adding $\alpha$ to the base field we add its inverse $\beta$ as well, and also their sum and their difference and thus both $ (\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{21}+\sqrt{17}}{2}$ and $x^4-19 x ^ 2 +1 $. We proved the claim. Now notice that $F_ {11} $ simply solving the equations of degree two. It has minimum polynomial $x ^-19x^2+1=(x^2+5) 4 (x ^ 2-2) $. It can be factorized in $\alpha + \beta$ as $ p (x) $ thus $% $ $ is a solution of one of them, let's call it $