¿Las líneas perpendiculares (respectivamente, ortogonales) deben encontrarse?

Question

En los libros de geometría en francés, tradicionalmente había una distinción muy clara entre líneas 'ortogonales' y 'perpendiculares' en el espacio. Dos líneas son llamadas perpendiculares si se cruzan en ángulo recto. Dos líneas son llamadas ortogonales si son paralelas a líneas que se cruzan en ángulo recto. Así, las líneas ortogonales podrían ser oblicuas (es decir, no es necesario que se crucen), mientras que las líneas perpendiculares siempre se intersectan. [Edición: La evidencia muestra que esta distinción probablemente surgió alrededor del cambio de siglo. Consulte abajo para más detalles.]

Buscando en Quora, Answers.com y aquí, he encontrado numerosas afirmaciones de que, en inglés, no hay absolutamente ninguna diferencia entre 'ortogonal' y 'perpendicular'. Sin embargo, dado que en francés existe esta distinción, tengo la corazonada de que la misma distinción alguna vez también fue observada en inglés, pero dado que ahora hay un mayor enfoque en vectores (donde los conceptos coinciden) que en líneas, se ha perdido gradualmente. Me gustaría confirmación de esto, si es posible.

Mi pregunta, entonces, es la siguiente:

¿Cómo se han denominado históricamente los dos conceptos referidos anteriormente como líneas 'ortogonales' y 'perpendiculares' en inglés y otros idiomas principales?

Las mejores respuestas incluirán referencias a fuentes autorizadas.

Edición. Zyx ha proporcionado una respuesta refiriéndose al texto de geometría de Rouché y Comberousse de 1900, donde la palabra perpendiculaire se utiliza para lo que aquí hemos llamado ortogonal. Esto sugiere fuertemente que, contrario a lo que había asumido, incluso el uso en francés no ha sido inmutable a lo largo del tiempo.

Entonces, Zyx puede estar en lo correcto al cuestionar mi premisa, y comienzo a sospechar que incluso en Francia, el uso de ortogonal en el sentido discutido aquí pudo haber sido introducido en el siglo veinte. Permítanme dar un ejemplo tomado de un texto de geometría de 1952 que ilustra este uso (Géométrie dans l'espace: Classes de Première C et Moderne, 1952, Dollon y Gilet):

Dos líneas son ortogonales, si sus ángulos son rectos.

Dos líneas coplanares formando cuatro ángulos derechos han sido llamadas droites perpendiculaires [presumiblemente en un libro de nivel inferior en la serie]; también se puede decir que son ortogonales.

En general, reservamos la expresión droites orthogonales, para dos líneas no coplanares y cuyos ángulos son derechos.

Convenciones casi idénticas se encuentran en Géométrie: Classe de Seconde C, 1964, de Hémery y Lebossé, excepto que permiten que las líneas "ortogonales" se crucen (así que perpendicular implica ortogonal, pero no al revés):

Acordamos llamar droites perpendiculaires a dos líneas que son concurrentes y ortogonales a la vez.

Sin embargo, el Leçons de géométrie élémentaire de Hadamard, 1901, utiliza la palabra perpendiculaire para incluir ambos casos:

Decimos que dos líneas, ya sea situadas o no en un mismo plano, son perpendiculares si su ángulo, definido como se acaba de decir, es recto.

Y Géométrie Élémentaire, 1903, de Vacquant y Macé de Lépinay está de acuerdo con Hadamard.

Mi conclusión es que fui demasiado rápido en mi pregunta al llamar a la distinción "tradicional". Es probable que haya aparecido en Francia en algún momento a principios o mediados del siglo veinte. (Para precisar la fecha mejor, sería mejor verificar lo que se hizo en los libros de texto en el período 1925-1940, como los de P. Chenevier y H. Commissaire, pero no tengo acceso a estos. Evidentemente, los vectores aparecieron por primera vez en los planes de estudio escolares franceses en 1905. Sin embargo, el producto escalar no se enseñó sistemáticamente hasta 1947, por lo que ese parecería un momento posible para la introducción de la expresión "líneas ortogonales".)

Los ejemplos dados por Zyx muestran que el uso en inglés de hecho refleja el uso temprano en francés, es decir, "perpendicular" se utiliza en todas partes. Y presumo que los términos "perpendicular oblicua" e "intersección perpendicular" solo se usarían donde un autor sintiera que se necesitaba la distinción. (En muchos casos, será claro en contexto si dos líneas se cruzan.)

Edición. La terminología "nueva" en francés data por lo menos del cambio de siglo. Aquí hay un extracto de Cours de Géométrie élémentaire: à l'usage des élèves de mathématiques élémentaires, de mathématiques spéciales; des candidats aux écoles du Gouvernement et des candidats à l'Agrégation (1899) de Niewenglowski y Gérard, que estaba destinado tanto a estudiantes de secundaria como universitarios. Este libro de hecho es referido por Lebesgue en sus Leçons sur l'intégration.

Consideremos dos líneas AB, CD, no situadas en un mismo plano; tracemos paralelas X'X y Y'Y a estas dos líneas desde un punto cualquiera O. [...]

Si las líneas X'X y Y'Y son perpendiculares, diremos que las líneas AB y CD son ortogonales. Algunas veces diremos también que son perpendiculares, incluso si no se cruzan.

Así, estos autores, a diferencia de Hadamard, Rouché y Vacquant, parecen tener una preferencia por droites orthogonales cuando las líneas no son coplanares. Sin embargo, esto no era una regla absoluta, y permiten que perpendiculaires también se pueda usar "a veces" en este caso. La distinción solo parece haberse establecido más tarde.

Answer 1

De "Orígenes conocidos de algunas palabras de matemáticas (O)" ...

ORTOGONAL se encuentra en inglés en 1571 en Práctica geométrica llamada Pantometria por Thomas Digges (1546?-1595): "De ángulos rectos hay tres tipos, el Ortogonal, el Obtuso y el Agudo." (En la traducción de Billingsley de 1570 de Euclides, un ortogón (escrito en latín orthogonium u orthogonion) es un triángulo rectángulo.) (OED2).

también

VECTORES ORTOGONALES. El término perpendicular se usó en la versión de Gibbs del análisis vectorial. Así, E. B. Wilson, Análisis Vectorial (1901, p. 56) escribe "la condición para la perpendicularidad de dos vectores ninguno de los cuales se anula es A·B = 0." Cuando se reconoció la analogía con funciones se adoptó el término "ortogonal". Aparece, por ejemplo, en Métodos de la Física Matemática de Courant y Hilbert (1924).

También hay notas sobre matriz ortogonal y función ortogonal, y ortocentro (el último de los cuales incluye una anécdota sobre la acuñación del término en 1865).

La página "P" del sitio tiene menos que decir sobre el otro término:

PERPENDICULAR fue usado en inglés por Chaucer alrededor de 1391 en Un Tratado sobre el Astrolabio. El término se usó como término geométrico en 1570 en la traducción de Sir Henry Billingsley de los Elementos de Euclides.

Nótese que Billingsley también aparece en la entrada "ortogonal" arriba. Un análisis más profundo de su traducción de los Elementos podría ser necesario, para ver si explica su propio pensamiento sobre la distinción entre "perpendicular" y "orto[gonal]".

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De manera anecdótica, yo (un estadounidense) fui introducido formalmente a "ortogonal" en el contexto de vectores en Pre-Cálculo. (El término puede haber sido mencionado de pasada cuando aprendimos sobre ortocentros en Geometría.) Así que, para mí, el término siempre ha connotado una relación direccional independiente de posición. También he visto el término "perpendicularmente oblicuo" para líneas en el espacio. Sea como sea ... parece que no estoy solo en usar "ortogonal" y "perpendicular" indistintamente ---"perpendicular" simplemente parece más amigable de usar con los estudiantes--- pero en circunstancias formales, probablemente estaría inclinado a seguir la convención francesa de una distinción clara. (Dicho esto, me sentiría obligado a reconocer explícitamente la convención, para evitar confundir a mi audiencia.)

Answer 2

En los libros de geometría en francés, tradicionalmente ha habido una distinción muy clara entre líneas 'ortogonales' y líneas 'perpendiculares' en el espacio.

Sospecho que la premisa de una distinción tradicional entre pares de líneas ortogonales que se intersectan y pares de líneas ortogonales que no lo hacen puede ser incorrecta. Las referencias a continuación tienen ejemplos de 1900-1921 en libros de texto escritos en inglés, francés y alemán. Hoy en día, tal distinción probablemente se limita a la dimensión $3$, como se presenta en algunos libros preuniversitarios o cursos para maestros de escuela.

Los problemas con la distinción incluyen

• no funciona bien para familias paramétricas de (pares de) líneas.
• en dimensiones más altas, hay una clara noción de ortogonalidad entre subespacios lineales, pero sería complicado tener que juzgar si hay una intersección para elegir el mot juste.
• hay demasiadas palabras como ortocentro, ortológico, ortopolo en la geometría euclidiana 2-3 dimensional que son incongruentes con la idea de líneas ortogonales que no se intersectan. Si el ortocentro es la intersección de algunas líneas ortogonales (alturas) deben ser ortogonales a los lados del triángulo. Luego, modificar el lenguaje de 2 a 3 dimensiones sería extraño.

Resultados de la búsqueda:

La traducción de 1903 del libro de Geometría Sólida de Franz Hocevar al inglés del Reino Unido tiene ejemplos de líneas "perpendiculares" en 3D que se utilizan para incluir el caso de líneas oblicuas. Página 10: "demuestra que si una línea recta es perpendicular a dos líneas que se intersectan pero no las corta, entonces es normal al plano que las contiene" y otros usos similares en la misma página. Este fue el primer texto antiguo listado en https://www.google.com/#q=solid+geometry&tbm=bks.

1921 (en EE. UU.) Charles Austin Hobbs, Geometría Sólida, p271: "en geometría sólida, dos líneas oblicuas son perpendiculares entre sí u oblicuas entre sí".

1900 Eugene Rouche et Ch. de Comberousse, Tratado de Geometría, V, Geometría en el Espacio, p.10 "se dice que dos líneas que no están en el mismo plano son perpendiculares entre sí cuando su ángulo entre ellas es recto". https://books.google.com/books?id=w8Q0AQAAMAAJ&pg=PA10

El libro de Rouche estaba en su 7ª edición en 1900 y parece que era un texto estándar de su época.

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Las referencias agregadas a la pregunta apoyan la idea de que la distinción entre ortogonal y perpendicular se hace solo en libros de texto introductorios. Supongo que la razón es evitar la posible confusión de lenguaje para los estudiantes, entre "perpendicular" como una relación entre dos objetos y "la perpendicular" trazada desde un punto a una línea o plano. La perpendicular suena única, y lo es. Sin embargo, si las líneas oblicuas pueden ser perpendiculares, entonces hay muchas líneas a través de un punto que son perpendiculares a una línea dada, pero no son "la" perpendicular a esa línea.

Answer 3

Orthogonal viene del griego antiguo - orthos significa 'correcto, recto, derecho' y gonos significa 'ángulo': Wiktionary:Orthogonal.

Perpendicular proviene del latín temprano de pendare, que significa 'pesar cuidadosamente', como con un plomada utilizado para obtener un ángulo recto desde un horizontal. Dictionary.com:Perpendicular.

Significan exactamente lo mismo, pero tienen diferentes orígenes.

Answer 4

Ellos son equivalentes. "Ortogonal" es un término utilizado para objetos más generales, como planos, mientras que "perpendicular" comenzó y se mantiene con líneas. A medida que la geometría se expandió en dimensión, también cambió la definición. "Ortogonal" incluiría "perpendicular" en particular, sin embargo, los términos se utilizan ahora de manera sinónima sin pérdida de significado.

Answer 5

En ambos casos, el producto punto del vector debe desvanecerse. Si la distancia mínima (a lo largo del producto cruz de vectores) es cero, son perpendiculares (estando en el mismo plano), de lo contrario son ortogonales oblicuos (hay una distancia ortogonal mínima a lo largo de su normal común).

EDICIÓN1:

Podemos distinguir entre los dos o desambiguar entre ellos usando una imagen 3D completa.

Podríamos traer 4 puntos $ P(P_1,P_2), Q(Q_1,Q_2) $ en dos líneas $P,Q.$

Si el volumen del tetraedro formado por estos 4 puntos (evaluado mediante la conocida fórmula del determinante) es cero, entonces $P$ es perpendicular a $Q$. De lo contrario, $P$ es ortogonal oblicuo a $Q.