Aquí hay un interesante problema de coloración que no puedo probar. Cualquier ayuda es apreciada. ¿Podemos dividir el intervalo cerrado$[0,1]$ en un número finito de intervalos, de manera que cada subintervalo se colorea de rojo o azul de forma alternativa, de modo que$$\int_{\text{red}}P(x)dx=\int_{\text{blue}}P(x)dx$$ for all polynomials $ P$ with a fixed degree $ n $.?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la posibilidad de un colorante de $[-1,1]$ lugar (se puede ampliar más adelante). Supongamos que existe un conjunto de monic polinomios con grado menor o igual a $n$ tal que $$\int_{\text{red}}P(x)dx=\int_{\text{blue}}P(x)dx.$$ Obviously, the equality also holds for all linear combinations of polynomials in this set, so it holds for all polynomials with degree less than or equal to $n$. Now, in a coloring where $\pm x$ are colored identically for $x\in [-1,1]$, all odd functions satisfy the condition, and in a coloring where $\pm x$ son de color contrario, todas las funciones satisfacen la condición.
Ahora, color $[-1,0]$ rojo y $[0,1]$ azul. Deje $C[0]$ denotar este colorante. No es difícil ver que todas constante polinomios $P$ satisfacer $\int_{\text{red}}P(x)dx=\int_{\text{blue}}P(x)dx$. Deje $C'$ ser el complemento de un colorante $C$, es decir, un intervalo dado, $I\in C'$ es de color rojo si y sólo si $I\in C$ azul. Ahora, podemos escala de $C[0]\mapsto[-1,0]$$C'[0]\mapsto[0,1]$, y anexar estos para formar $C[1]$. Tenga en cuenta que $C[1]$ va a satisfacer la zona condición constante para todos los polinomios también. Por otra parte, desde la $C[1]$ es simétrica, tiene por $P(x)=x$, y por lo tanto para todos lineal de polinomios ($\deg P = 1$).
Ahora, podemos definir $C[2]$ igualmente por la realización de la escala y anexando en $C[1]$. Esto dará como resultado una coloración tal que $\pm x$ son colores opuestos que satisface la condición para todos los polinomios cuadráticos. El proceso puede ser continuo para generar una coloración $C[n]$ grandes $n$.
