Faddeev-Popov fantasmas se introducen en la cuantificación de Yang-Mills teoría de absorber el Faddeev-Popov determinante en la acción, $$\det \Delta_{\text{FP}} = \int \mathcal{D} \bar{c} \mathcal{D} c \, e^{i \int dx \, \bar{c}^a(x) (\Delta_{\text{FP}} c(x))^a}.$$ Aquí, $c$ es un escalar de Lorentz, y debe ser fermionic, como si se utilizó una bosonic variable $\psi$ en su lugar, nos gustaría obtener el factor determinante en el denominador, más que el numerador, $$\frac{1}{\det \Delta_{\text{FP}}} \propto \int \mathcal{D} \bar{\psi} \mathcal{D} \psi \, e^{i \int dx \, \bar{\psi}^a(x) (\Delta_{\text{FP}} \psi(x))^a}.$$ Así que tenemos que aceptar una violación de los spin-estadísticas de cuantización de Yang-Mills.
Pero un amigo mío con una alternativa sencilla: simplemente se nota que $$\det \Delta_{\text{FP}} = \frac{1}{\det \Delta_{\text{FP}}^{-1}} \propto \int \mathcal{D} \bar{\psi} \mathcal{D} \psi \, e^{i \int dx \, \bar{\psi}^a(x) (\Delta_{\text{FP}}^{-1} \psi(x))^a}.$$ Tenga en cuenta que el inverso existe porque el determinante es distinto de cero; si el determinante fuese cero, el conjunto de la ruta integral sería cero y no seríamos capaces de hacer cualquier cosa, fantasmas o no.
¿Hay algo malo con este método? Conduce a algunas complicaciones de la línea? Si no, ¿por qué son los spin-estadísticas de la violación de Faddeev-Popov fantasmas utiliza normalmente en su lugar, cuando esta configuración se ve mucho más bonito?
