Permita que$\{f_n\}_n$ sea una secuencia de funciones continuas$f_n\colon[0,1]\to\Bbb R$ y permita$U_n=\{\,x\in[0,1]\mid f_n(x)>1\,\}$. Sabemos que$\forall x\in[0,1]\colon \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ no implica que$f_n\to 0$ uniformemente. Sin embargo, los contraejemplos habituales tienen todos$\lim_{n\to\infty}\mu(U_n)=0$. ¿Hay un contraejemplo donde$\mu(U_n)\ge p>0$ para todos$n$? Y si es así, ¿para qué$p$ (ciertamente no para$p=1$)? Intuitivamente, mi respuesta es "no", porque se siente como si "$x\in[0,1]$ aleatorio", la "probabilidad" de que$f_n(x)\ge1$ fuera al menos$p$, contradiciendo$f_n(x)\to 0$ .
Respuestas
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Debemos tener $\mu(U_n)\to 0$. Tampoco importa que el $f_n$'s son continuas o que convergen pointwise en todas partes, la mera capacidad de medición y pointwise una.e. la convergencia está bien.
Prueba. Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Desde $f_n\to 0$ pointwise una.e. en la medida finita del espacio $[0,1]$, Egorova del teorema nos dice que $f_n \to 0$ casi uniformemente en el sentido de que existe un conjunto medible $A_\epsilon\subset [0,1]$ tal que $\mu\big([0,1]\smallsetminus A_\epsilon\big) < \epsilon$ $f_n\to 0$ uniformemente en $A_\epsilon$. Por tanto, para todos lo suficientemente grande $n$,$\mu\big(\{|f_n| > 1\}\big) \le \mu\big([0,1]\smallsetminus A_\epsilon\big) < \epsilon$. Por lo tanto $\mu(U_n)\to 0$.
Tenga en cuenta que no había nada especial acerca de la $1$. Podríamos haber reemplazado con $\alpha > 0$.
Youem
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De hecho, puede ser generalizable, para$\epsilon > 0$ let$U_n(\epsilon) = \{x \in [0,1] : f_n (x) \ge \epsilon\}$ y dejar que$X$ sea una variable aleatoria distribuida uniformemente en$[0,1]$. Dado que$f_n \to 0$ en sentido horario, entonces$f_n(X) \to 0 \text{ a.s.}$ luego$f_n(X) \to 0$ en probabilidad. y entonces $\mu (U_n(\epsilon))=\mathbb P(f_n (X) \ge \epsilon ) \to 0$
