Continuidad de una función en dos variables

Question

Función $f(x,y)$ es continua en cada variable por separado. Demuestra que existe un punto en el que es continuo en dos variables.

No entiendo muy bien cómo actuar aquí. Conozco la definición de continuidad. Pero no sé cómo usarlas. Esta es mi tarea sobre el análisis matemático.

Answer 1

Para $\varepsilon>0$ denotan $$X_{\varepsilon} = \Big \{ (x,y) ~|~ \exists \eta >0, \forall (h,k) \in [-\eta,\eta]^2,~ |f(x+h,y+k)-f(x,y)|< \varepsilon \Big\}.$$ Entonces $f$ es continua en $\bigcap_{\varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0}} X_{\varepsilon}$ .

Lema: Para cualquier $\varepsilon>0$ y abrir $O$ : $X_{\varepsilon} \cap O$ tiene un interior no vacío.

Prueba: WLOG podemos suponer que $O=(-1,1) \times (1,1)$ . Desde $x \mapsto f(x,0)$ es continua en $0$ existe $\alpha \in (0,1)$ tal que $|f(x,0)-f(0,0)| \leq \frac{\varepsilon}{4}$ para todos $|x| \leq \alpha$ . Denote $$E_{\beta} = \Big \{ x \in (-\alpha,\alpha) ~|~ \forall |y| < \beta, ~ |f(x,y) - f(x,0)| \leq \frac{\varepsilon}{4} \Big\}.$$ Entonces : (1) $E_\beta$ es cerrado porque es una intersección de conjuntos cerrados, (2) $\cup_\beta E_\beta = (-\alpha,\alpha)$ porque $y \mapsto f(x,y)$ es continua para cualquier $x$ . El teorema de Baire implica que $E_{\beta_0}$ contiene un $I$ para algunos $\beta_0$ . Entonces, para cualquier $(x,y)$ y $(x',y') \in I \times (-\beta_0,\beta)$ tenemos $$\begin{array}{rcl} |f(x,y)-f(x',y')| &\leq& |f(x,y)-f(x,0)| + |f(x,0)-f(x',0)| + |f(x',y')-f(x',0)| \\ &\leq& \varepsilon \\ \end{array}$$ Por lo tanto, $X_\varepsilon \cap O$ tiene un interior no vacío. QED

El teorema de Baire implica que $\bigcap_{\varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0}} X_{\varepsilon}$ es denso.

Answer 2

Esto es definitivamente exagerado pero ....

Este artículo de The American Mathematical Monthly (Vol. 78, nº 2, febrero de 1971) muestra que una función continua en cada variable es una función de clase 1 de Baire (el límite puntual de una secuencia de funciones continuas). Entonces el teorema de la Categoría de Baire aplicado al Teorema 2.2 de este muestra que la función es realmente continua en un subconjunto denso del dominio.

Answer 3

Dejemos que $(x_p, y_p)$ sea un punto y que ${(x_n , y_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ sea cualquier secuencia tal que $(x_n , y_n) \rightarrow (x_p, y_p)$ .

Entonces $$ \lim_{n\rightarrow \infty} |f(x_n , y_n) - f(x_p , y_p)| = \lim_{n\rightarrow \infty} |f(x_n , y_n) - f(x_n , y_p) + f(x_n , y_p) - f(x_p , y_p) + f(x_p , y_p) - f(x_p , y_n) + f(x_p , y_n) - f(x_p , y_p)| \leq \lim_{n\rightarrow \infty} |f(x_n , y_n) - f(x_n , y_p)| + |f(x_n , y_p) - f(x_p , y_p)| + |f(x_p , y_p) - f(x_p , y_n)| + |f(x_p , y_n) - f(x_p , y_p)| $$

Cada uno de estos términos va a cero ya que $f$ es continua en cada variable.

Por lo tanto, $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n,y_n) = f(x_p,y_p)$$ Por definición, esto significa que f es continua en $(x_p, y_p)$ .

(Esta prueba es fácil de generalizar en espacios métricos arbitrarios, aunque supuse que no era eso lo que buscabas).