Podría verificar que si Morph$(A, B)$ está en correspondencia biyectiva con Morph$(B, A)$ para todos los objetos$A, B$ en una categoría, entonces se construirá isomorfismo entre esa categoría y es lo contrario. Es una condición necesaria. Parece que sí. Pero no estoy realmente convencido de mi justificación.
Respuesta
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Micah
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Su condición no es ni necesario ni suficiente.
A ver que no es necesario, considere la posibilidad de la categoría con dos objetos de $A$$B$, y uno de morfismos de$A$$B$. En esta categoría, $|\hom(A,B)|=1$$|\hom(B,A)|=0$, por lo que no satisface la condición. Sin embargo, es isomorfo a su opuesto - es sólo que el isomorfismo de los intercambios $A$$B$.
A ver que no es suficiente, tenga en cuenta que no todos los monoids son isomorfos a sus opuestos. Pero, como una categoría de objeto, cualquier monoid se trivialmente satisfacer su condición.
