Primero de todo, si se acepta que el $0^0=1$, entonces hay algunas soluciones triviales:
Deje $z$ $0$ y deje que uno de $x$ $y$ $0$ y el otro un ser cualquier
entero positivo, y tendrás $z^x+\bar z^y=0+1=1$. Es fácil ver que
si uno de $x$, $y$ y $z$ es igual a $0$, en los casos mencionados son la única
posibles soluciones.
Así, a partir de ahora, vamos a suponer que ninguno de $x$, $y$ y $z$
es igual a $0$. Tenga en cuenta que en este caso, tendremos $\left|z\right|\geq1$,
debido a $\alpha$ $\beta$ son enteros y al menos uno de ellos es distinto de cero.
A continuación, vamos a mostrar que si $z^x+\bar z^y=1$,$\left|z\right|\leq2$.
- Si $x>0$$y>0$$\left|z\right|^{-2x}\leq1$. También por
$z^x+\bar z^y=1$ obtenemos $\bar z^x+z^y=\bar 1=1$. Multiplicando estas ecuaciones
tenemos $\left|z\right|^{2x}+\left|z\right|^{2y}+z^x\bar z^y+\bar z^x z^y=1$.
Ahora supongamos que $x\leq y$ (en el caso de $y\leq x$ es similar). A partir de la última
ecuación tenemos $\left|z\right|^{2x}+\left|z\right|^{2y}+\left|z\right|^{2x}
(\bar z^{y-x}+z^{y-x})=1$ that yields $1+\izquierda|z\right|^{2y-2x}+
(\bar z^{y-x}+z^{y-x})=\left|z\right|^{-2}$, que es equivalente a
$1+\left|z\right|^{2y-2x}+2\Re(z^{y-x})=\left|z\right|^{-2x}$. Ahora porque
$\alpha$ $\beta$ son enteros, el lado izquierdo de la última ecuación es una
entero. Pero la derecha no es más que $1$, por lo que es un número entero si y
sólo si $\left|z\right|=1$. Que da $\left|z\right|\leq2$.
- Si $x>0$ $y<0$ $\left|z\right|^x\geq\left|z\right|$ y
$\left|z\right|^y\leq1$. Así que, por el triángulo de la desigualdad, obtenemos
$\left|z\right|\leq\left|z\right|^x\leq\left|z\right|^y+\left|z^x+
\barra z^y\right|\leq2$. The case $y>0$ and $x<0$ es similar.
- Si $x<0$ $y<0$ $\left|z\right|^{-x}\geq\left|z\right|$ y
$\left|z\right|^{-y}\geq\left|z\right|$. Ahora, debido a $z^x+\bar z^y=1$, tenemos
$z^{-x}+\bar z^{-y}=z^{-x}\bar z^{-y}$ y por el triángulo de la desigualdad obtenemos
$\left|z\right|^{-(x+y)}=\left|z^{-x}\barra z^{-y}\right|=
\left|z^{-x}+\barra z^{-y}\right|\leq\left|z\right|^{-x}+\left|z\right|^{-y}$
que da $(\left|z\right|^{-x}-1)(\left|z\right|^{-y}-1)\leq1$. Por lo tanto,
$(\left|z\right|-1)^2\leq1$ que los rendimientos de $\left|z\right|\leq2$.
A continuación, se muestra que el $\left|z\right|\neq1$. Si $\left|z\right|=1$ $z=\pm1$ o
$z=\pm i$. En el primer caso, $z^x+\bar z^y$ es un entero par y no puede ser
igual a $1$. En el último caso, si $x$ $y$ tienen la misma paridad, entonces
$z^x+\bar z^y$ es un múltiplo de a $i$, y si tienen diferentes partidos,
a continuación, $z^x+\bar z^y$ tendrá un valor distinto de cero la parte imaginaria. Así que, en cualquier caso, la
la ecuación de $z^x+\bar z^y=1$ no se puede sostener. Así que los únicos valores posibles para $z$
$\pm2$, $\pm2i$, $\pm(1+i)$ y $\pm(1-i)$.
Ahora, estamos listos para la determinación de todas las soluciones posibles.
- Si $x>0$ $y>0$ $\left|z\right|$ debe ser igual a $1$ como hemos demostrado antes. Pero también hemos demostrado que esto es imposible.
- Si $x>0$ $y<0$ $\left|z\right|^y<1$ debido a que $\left|z\right|^y
\neq1$. So in the inequality $\left|z\right|^y\leq2$ que se deriva antes,
la igualdad no puede sostener. Por lo tanto, $z$ es igual a $\pm(1+i)$ o $\pm(1-i)$ y
tenemos $\left|z\right|=\sqrt{2}$. Ahora, si $x\geq2$ $2\leq\left|z\right|^x
\leq\left|z^x+\barra z^y\right|+\left|z\right|^y\leq1+\frac{1}{\sqrt{2}}$ que
conduce a una contradicción. Así que el único valor posible para $x$$1$. Esto significa
$\Im(z^x)=\pm1$. Por otro lado, $\left|\Im(\bar z^y)\right|\leq
\left|z\right|^y\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$ so $\Im(z^x+\barra z^y)\neq0$ y
por lo tanto, no hay soluciones posibles en este caso. El caso de $x<0$
y $y>0$ es similar.
- Si $x<0$ $y<0$ $\left|z\right|=2$
$\left|z\right|^x\leq\frac{1}{2}$ $\left|z\right|^y\leq\frac{1}{2}$ y
la igualdad tiene iff $x=-1$ $y=-1$ respectivamente. Por el triángulo de la desigualdad obtenemos
$\left|z^x+\bar z^y\right|\leq\left|z\right|^x+\left|z\right|^y\leq1$ por lo que el
las igualdades deben tener. Por simple cálculo, vemos que sólo en el caso de $z=2$
da una solución.
Si $x<0$ $y<0$ $\left|z\right|=\sqrt{2}$
$\left|z\right|^x\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$ y
$\left|z\right|^y\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$. Si $x$ es igual a $-1$ $y$ debe
ser igual a$-1$. Debido a $\left|\Re(z^x)\right|$ sería igual a
$\frac{1}{2}$ pero si $y=-2$ $\Re(\bar z^y)=0$ e si $y<-2$
$\left|\Re(\bar z^y)\right|\leq\left|z\right|^y=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ y en
cualquiera de los dos casos $z^x+\bar z^y\neq1$ (del mismo modo, si $y=-1$$x=-1$). Porque
$\Re(z^{-2})=\Re(\bar z^{-2})=0$ caso $x=y=-2$ es imposible. Si $x\leq-2$
y $y\leq-3$, debido a que $\left|z^x\right|+\left|\barra z^y\right|\leq
\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}<1$, no tenemos una solución y en el caso
$x\leq-3$ $y\leq-2$ es similar. Así, en la única manera posible de soluciones, hemos
$x=y=-1$. Por simple cálculo, vemos que sólo $z=1\pm i$ da una solución.
Por lo tanto, las únicas soluciones no triviales se $(x,y,z)=(-1,-1,2)$ y
$(x,y,z)=(-1,-1,1\pm i)$.
