Representaciones irreducibles respecto al producto tensorial

Question

Una representación irreducible de un grupo finito $G$ es una representación que no puede expresarse como la suma directa de $G$ -representaciones. Las representaciones irreducibles son útiles debido al teorema de Maschke, que nos permite descomponer cualquier dimensión finita $G$ -como sumas directas de representaciones irreducibles en las que el número de veces que aparece un sumando es independiente de la descomposición elegida (siempre que char $k \nmid |G|$ , donde $k$ es el campo subyacente).

Mi pregunta es, ¿qué ocurre cuando intentamos hacer todo esto con la suma directa sustituida por el producto tensorial? ¿Hay un número finito de $G$ -representaciones que no pueden descomponerse como producto tensorial de otras $G$ -¿Representaciones? ¿Existe una $G$ -representación para algunos $G$ que puede descomponerse en un producto tensorial de representaciones atómicas con respecto al producto tensorial de dos maneras diferentes?

Answer 1

Hay infinitas representaciones "tensoras irreducibles" de cualquier grupo. Basta con tomar la suma directa de $p$ copias del módulo trivial, para cualquier primo $p$ .

Las representaciones unidimensionales dan descomposiciones tensoriales no únicas de forma trivial (si $U$ y $V$ son representaciones con $U$ unidimensional, entonces $U\otimes U^*\otimes V\cong V$ ), por lo que probablemente se quiera la unicidad hasta los factores unidimensionales.

Pero incluso entonces, el grupo alternativo $A_5$ no tiene ninguna representación unidimensional aparte de la trivial, pero tiene dos representaciones tridimensionales $U$ y $U'$ y una representación de cinco dimensiones $V$ con $U\otimes V\cong U'\otimes V$ .