$\overline{\mathrm{Im} (T^*T)} = \overline{\mathrm{Im} T^*}$

Question

Necesito demostrar que en un espacio de Hilbert, $\overline{\mathrm{Im}(T^*T)} = \overline{\mathrm{Im}T^*}$. Ya he demostrado que $\ker (T^*) = (\mathrm{Im} T)^\perp$ y hasta el momento han concluido que $[\mathrm{Im}(T^*T)]^{\perp \perp} = [\mathrm{Im} T^*]^{\perp \perp}$ demostrando $\ker (T^*T) =\ker (T)$.

¿Cómo puedo obtener el paso final?

¿Sólo se puede usar el hecho de que para cualquier subespacio $A$, $A^{\perp \perp}= \overline{ \mathrm{Sp} (A)}$ pero puesto que la imagen es siempre un subespacio lineal, es igual a la de su palmo?

Answer 1

Su enfoque es correcto. Para mayor claridad, sugiero que prueben la relación $$ \overline{\operatorname{Im} T^*} = (\ker T)^\asesino $$ por separado (es útil en otras ocasiones demasiado). La prueba utiliza el hecho de que el cerrado lineal lapso de $A$$(A^\perp)^\perp $: $$ \overline{\operatorname{Im} T^*} = ((\operatorname{Im} T^*)^\asesino)^\asesino = (\ker T)^\asesino $$