¿Puedo seguir añadiendo más dimensiones a los números complejos?

Question

Conozco el concepto del complejo avión pero, ¿es posible pasar a la tercera dimensión? ¿Qué hay de las muchas dimensiones arbitrarias?

Editar: ¿podría darme algunos ejemplos de números en 3D?

Answer 1

Esta era una actividad popular en el siglo XIX, llamada números hipercomplejos , basándose en el exitoso ejemplo de los cuaterniones y en el caso más esotérico de los octoniones. Los números hipercomplejos se denominan ahora "álgebras asociativas de dimensión finita", pero de tales álgebras, sólo los cuaterniones y los octoniones conservan características que se asemejan a los números complejos. Las matrices forman otra álgebra similar a los números complejos en aspectos importantes, y tienen su propia interpretación geométrica, diferente de la de los números complejos y los cuaterniones.

Los cuaterniones están relacionados con las rotaciones tridimensionales y este aspecto se generaliza a todas las dimensiones superiores mediante las álgebras de Clifford y la teoría de la representación del $n$ -grupo de rotación de dimensiones.

Para responder al EDIT, no hay ejemplos tridimensionales no triviales, pero se pueden escribir ejemplos triviales enumerando la tabla de multiplicar. Tomemos $1$ y $i$ con la ley de multiplicación igual que en los números complejos, y añadir un nuevo elemento $N$ con alguna regla para multiplicarlo por $1$ y por $i$ como por ejemplo $N 1 = 1 N = iN = Ni = N$ . Esto da una ley de multiplicación asociativa conmutativa en los "números 3-d" de la forma $a.1 + b.i + c.N$ que puede considerarse como una regla para combinar triples $(a,b,c)$ y $(a',b',c')$ en un tercer triple. Ejemplos como éste son fáciles de escribir, pero no hay ninguna regla de combinación para los triples que vaya más allá de unas pequeñas variaciones sobre los números reales o complejos. Otro ejemplo de variación trivial es multiplicar los dos primeros componentes como números complejos y el tercero como números reales. Esto se denomina "producto directo" o "suma directa" del sistema de números reales y complejos, pero no hay ninguna estructura nueva.

En la dimensión 4 aparecen nuevos e interesantes ejemplos, los cuaterniones y el álgebra de matrices de 2x2.

Answer 2

RF y (RBF) SVM tienen diferentes teorías detrás de ellos, pero suponiendo que usted tiene suficientes datos, se desempeñan de manera similar. Ambos pueden aprender funciones complejas y lidiar con variables ruidosas y poco informativas y con valores atípicos.

Si se trata de obtener los mejores resultados para algo como un kaggle, se ensamblarían múltiples modelos incluyendo RF y SVM de todos modos.

En entornos no kaggle, podría considerar lo difícil que es implementar el modelo, ponerlo en producción, hacer una predicción, interpretarlo, explicarlo a un gerente, etc.

La SVM (lineal o RBF altamente regularizada) sería definitivamente preferible si se tiene una pequeña cantidad de datos o se trata de un curso de dimensionalidad. Hay un par de razones para ello, una es que es mejor buscar el hiperplano de máximo margen en lugar de una serie de mejores divisiones en sus características, también no hay generalmente necesidad de un límite complejo porque en el espacio de alta dimensionalidad habrá algún hiperplano que puede separar los datos de todos modos. Otro problema es que la RF es más difícil de ajustar (tiene más parámetros que ajustar), por lo que se necesitan más datos.

Otra idea, la validación cruzada puede ser muy barata y rápida para SVM, especialmente LOOCV. Dado que sólo unas pocas muestras son vectores de apoyo (no siempre), usted no tiene que volver a entrenar su clasificador en cada pliegue, pero sólo cuando los datos que están ahora en el conjunto de prueba eran vectores de apoyo antes. Esto también puede facilitar el aprendizaje en línea.

Además, podría ser más barato almacenar vectores de soporte que árboles completos.

A menudo es mejor hacer un modelo probabilístico que un clasificador. Por lo tanto, hay que hacer primero el modelo y luego la decisión. En ese caso se prefiere la regresión logística. Y aún puede utilizar kernels y regularización para hacer que se comporte como desea. Además, no utilizará la RF para responder a preguntas como: corregir por edad, estilo de vida, sexo y educación, ¿el consumo de alcohol aumenta la posibilidad de sufrir un ataque al corazón?

Algunos recursos adicionales que encontré interesantes: https://www.quora.com/What-are-the-advantages-of-different-classification-algorithms http://videolectures.net/solomon_caruana_wslmw/

Answer 3

El Construcción Cayley-Dickson es menos que toda la verdad, pero está ahí. Es una secuencia infinita que comienza con los reales; el segundo paso es el campo complejo; el tercero, los cuaterniones; el cuarto, los octoniones.

La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa; la multiplicación de octoniones no es asociativa.

Answer 4

Históricamente, la gente sólo ha aceptado como "números" un número limitado de sistemas que "rompen" las propiedades que conocemos de los números reales. Pero en realidad esto es sólo una cuestión de terminología. Si nos centramos en las generalizaciones de los normas de transformación que satisfacen las rotaciones y dilataciones del plano, se empieza a vislumbrar una vasta parte del paisaje de las matemáticas avanzadas. El álgebra lineal, la teoría de los grupos de Lie, la teoría de los operadores y los sistemas dinámicos, sólo para empezar, tienen como objetivo describir tipos útiles de transformaciones sobre tipos complicados de datos, y las reglas que los rigen.

Un ejemplo sencillo en 3D es Teorema de la rotación de Euler La composición de dos rotaciones en 3D, alrededor de ejes posiblemente diferentes, es otra rotación, cuyo eje puede ser calculado. Nótese que el orden es importante: Las rotaciones en 3D no son necesariamente conmutables.

Así que sí, hay muchas formas de generalizar las rotaciones en 2D y obtener objetos con reglas fantásticas y útiles. Sólo que no los llamamos "números".

Answer 5

Es muy sencillo pasar a tres dimensiones, recordemos que el plano complejo está más o menos elaborado a partir del hecho de que $i^2 = -1$ . Para $\mathbb{R}^3$ simplemente se define un número $j$ que tiene la propiedad $j^3 = -1$ .

Se obtiene un sistema numérico perfecto (incluso una cosa perfecta de análisis complejo) pero no es un campo porque hay que encontrar los llamados divisores de cero.

Análogo al plano complejo $\mathbb{C}$ donde es habitual identificar cada punto $(x, y)$ con un número complejo $z = x + iy$ , en $\mathbb{R}^3$ usted identifica $(x, y, z)$ con $X = x + jy + j^2z$ .

Un hecho sorprendente es que la ecuación $X^2 = -1$ no tiene solución dentro de este $\mathbb{R}^3$ sistema numérico. Pero si lo piensas bien, eso es bueno porque si no pasar a 3 dimensiones no añade nada nuevo...

(Sí, sí, piénsalo.)