Evaluar $\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi}\frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}$

Question

Tengo que evaluar $\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi}\frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}$ donde $m,n \in\mathbb{N*}$ . Al principio pensé que podría usar el límite notable $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}x = 1$ y la respuesta podría ser simplemente $\frac {m}{n}$ pero esta no es la respuesta.... Quiero decir que es una parte pero no entiendo por qué.

Answer 1

Dejemos que $y=x-\pi $ . Entonces

$$\sin (mx)=\sin (m (y+\pi))$$ $$=(-1)^m\sin (my) \sim (-1)^mmy$$

por lo tanto, el límite es $$(-1)^{m-n} \frac {m}{n}$$

Answer 2

HINT

Dejemos que $x=y+\pi$ entonces

$$\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi}\frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}=\lim_{y\to0}\frac{\sin(m\pi+my)}{\sin(n\pi+ny)}$$

entonces considere los casos con $m,n$ impar o incluso.

Answer 3

Siguiendo mi sugerencia podemos invocar la regla de DeL' Hospital. El límite es de la forma $\frac{0}{0}$ Por lo tanto

$$\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{\sin mx}{\sin nx} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{m\cos mx}{n\cos nx} = \frac{m}{n}\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\cos mx}{\cos nx} = (-1)^{m-n} \frac{m}{n}$$

porque $\cos n \pi = (-1)^n$ . Puedes demostrarlo inductivamente.

Actualización: No he visto que la pregunta esté etiquetada como "límite sin DeL' Hospital". Si los moderadores, juez , necesario por favor eliminar esta respuesta.

Answer 4

Dejemos que $$x=\pi -y$$ .

$$\lim_{x\rightarrow \pi }\frac{\sin\left ( nx \right )}{\sin\left ( mx \right )}\\ \\=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin\left [ n\left ( \pi -y \right ) \right ]}{\sin\left [ m\left ( \pi -y \right ) \right ]}\\ \\=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin\left ( n\pi -ny \right )}{\sin\left ( m\pi -my \right )}\\ \\ =\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\lim_{y\rightarrow 0}=\frac{\sin\left ( ny \right )}{\sin\left ( my \right )}\\ \\=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin\left ( n\pi \right )\cos\left ( ny \right )-\cos\left ( n\pi \right )\sin\left ( ny \right )}{\sin\left ( m\pi \right ) \cos\left ( my \right )-\cos\left ( m\pi \right )\sin\left ( my \right )}\\\\=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{-\cos\left ( n\pi \right )\sin\left ( ny \right )}{-\cos\left ( m\pi \right )\sin\left ( my \right )} \\\\=\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{n\cos\left ( ny \right )}{m\cos\left ( my \right )}\\ \\=\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\frac{n}{m}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos\left ( ny \right )}{\cos\left ( my \right )}\\ \\=\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\frac{n}{m}$$

Si $m$ y $n$ son ambos pares o ambos Impares, $$\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\frac{n}{m}=1\cdot \frac{n}{m}=\frac{n}{m}$$

Si uno es par y el otro es impar, $$\frac{\cos \left ( n\pi \right )}{\cos \left ( m\pi \right )}\frac{n}{m}=\left ( -1 \right )\cdot \frac{n}{m}=-\frac{n}{m}$$

Answer 5

Sólo desde $mx \to 0$ no se mantiene cuando $x\to \pi$ .