La integral estocástica $\int W_t dW_t$

Question

Estoy leyendo una introducción al Cálculo Estocástico. Estoy en el punto en el que se desarrollan las integrales de Ito y se contrastan con la integral de Stratonovich.

A continuación se muestra un cálculo de $\int_0^T W_t d W_t$ .

¿Cómo paso de la primera ecuación a la segunda? Supongo que ms-lim significa $L^2$ -límite, pero aun así, no consigo entender lo que hace el autor. Tengo otras referencias para esta integral, pero me gustaría entender esta prueba en particular.

$W_t$ es un proceso de Wiener y la ecuación (4.29) sólo dice

$$ \mathbb{E}[(W_s-W_t)^2] = |s - t| $$

Answer 1

Para usar términos intuitivos: básicamente, la ecuación 4.29 está diciendo que, usando una notación mucho más simple, la varianza del proceso, ya que la media es 0, se convierte en $ \mathbb{E}[(W_{t+\Delta t}-W_{t})^2] =\Delta t$ y como hay independencia, $ \mathbb{E}[(W_{t+\Delta t}-W_{t}) (W_{t+2 \Delta t}-W_{t+\Delta t})] =0$ . Está tomando $K$ a $\infty$ significa hacer los incrementos $\Delta t$ cada vez más pequeño ya que el intervalo global $[0,T]$ no cambia.

Ahora la diferencia entre Ito y Stratonovich radica en (una vez más, simplificando al máximo la notación): Cuando se hace una suma de una función de $W$ en un caso tienes "no anticipación": $\sum_i^{\frac{n}{\Delta t}} f(W_{t+i \Delta t}) ( W_{t+(i+1) \Delta t}-W_{t+i \Delta t}),$ en el otro $\sum_i^{\frac{n}{\Delta t}} f(W_{t+(i+1) \Delta t})( W_{t+(i+1) \Delta t}-W_{t+i \Delta t})$ . Haces como con la integral de Riemann $\Delta t$ cada vez más pequeños y aumentar el número de pasos.

Answer 2

El significado es que si tomas $\tau_k$ igual a $t_{k-1} $ se obtiene la integral de Ito habitual, mientras que si se toma entre $t_{k-1}$ y $t_k$ no lo haces. En particular, si siempre se toma exactamente el punto medio, se obtiene un término adicional T/2 (compruébelo usted mismo). Esto puede ser una sorpresa ya que, por ejemplo, para las integrales de Riemann (de funciones continuas) no importa el punto que elijas en cada intervalo