Jordan: ¿para las series infinitas? serie de composición$\rightarrow$ serie principal

Question

El problema que estoy tratando de demostrar es que un grupo que tiene una composición de la serie también tendrá un jefe de serie (nos 're hablando sólo de infinito grupos de curso). En lugar de colocar la respuesta les agradecería si alguien me dijo que si mi línea de pensamiento es correcto como lo estoy publicando varias otras preguntas allí.

He reducido el problema a simplemente mostrando que hay un mínimo de subgrupo normal. Deje $G>G_1>G_2>....G_r=1$ ser una composición de la serie. Mi pensamiento aquí es el uso de contradicción y decir, no existe un mínimo normal de los subgrupos. Tenemos que $G_1\unlhd G$, por lo que hay un subgrupo de $N<G_1$ tal que $N\unlhd G$. De esta forma, se puede construir una infinita serie normal que no se termina en que $N_{i+1}\unlhd G$$N_{i+1}\unlhd N_i$. Yo también podría tomar la primera r de la $N_i$ afirman que $N_r$ tiene una composición de la serie. Todo lo que necesito en la final es refinar la serie a de inicio de $G$ y, a continuación, utilizar Jordania Titular teorema.

Lo que yo estoy confundido acerca de es si puedo utilizar el Jordán Titular Teorema de la cual los estados a cualquier composición de la serie tienen la misma longitud y son equivalentes (todo lo que necesito es la longitud de la parte). ¿Puedo usar el Jordán Titular el teorema de reclamación que cualquier serie normal(no es necesario composición) es de longitud $\leq r$?. Los subgrupos $N_i$ hacer construir una serie normal, pero me parece no puede encontrar una manera de refinar en una composición de la serie. A lo que me refiero es este: Tome la primera a la $N_0=N$. Tenemos que $N\leq G_1$ pero no tenemos que esta es la máxima normal de los subgrupos. Si un grupo existía entonces estaríamos terminado, la construcción de la composición de la serie como estaba previsto. Pero, ¿cómo podemos mostrar que hay una máxima normal de los subgrupos entre el$G_1$$N$, e.g $N\leq H \leq G_1$ que $H$ es máxima en $G_1$?

Creo que mi pregunta puede ser reducido a este problema: Si $G$ tiene un máximo normal de los subgrupos $K$$N\unlhd G$, entonces es $N$ contenida en algunos máxima subgrupo normal? Si $N\leq K$ la respuesta es obvia, pero si ese no es el caso, podemos argumentar que el $N$ está contenida en algunos máxima subgrupo normal? Mi único pensamiento era tomar $NK=G$ pero estoy confundido sobre cómo continuar.

Mis preguntas pueden incluso no estar vinculado en la final a los otros, pero cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Es un poco difícil de averiguar exactamente lo que usted está preguntando. Vamos a probar el siguiente resultado. Si $G$ tiene una composición de la serie de la longitud de la $r$, entonces cualquier estrictamente descendente subnormal serie de $G$ tiene una longitud en la mayoría de las $r$. Tendrá que responder a su pregunta?

Podemos demostrar que por inducción en $r$. Si $r=1$ $G$ es sencilla y el resultado se mantiene.

De lo contrario vamos a $N$ ser un subgrupo normal de $G$$N \ne G$. Será suficiente para demostrar que el estrictamente descendente subnormal serie de $N$ tiene una longitud en la mayoría de las $r-1$.

Si $N \le G_1$ luego de esto se sigue inmediatamente por inducción aplicada a $G_1$. Así que supongo que no, y por lo tanto,$G_1N=G$.

A continuación, $G_1 > G_1 \cap N \ge G_2 \cap N \ge \cdots \ge G_r \cap N = 1$ es un subnormal de la serie de $G_1$. Desde $G_1$ tiene una composición de la serie de la longitud de la $r-1$, por inducción debemos tener $G_i \cap N = G_{i+1} \cap N$ algunos $i \ge 1$, o de lo contrario nos habría estrictamente subnormal descendente de la serie de $G_1$ de longitud mayor que $r-1$.

Ahora, considere el subnormal de la serie $N >G_1 \cap N \ge G_2 \cap N \ge \cdots \ge G_r \cap N = 1$$N$. Sus factores son isomorfos a la normalidad subgrupos de la simple grupos $G_i/G_{i+1}$, por lo que son, ya sea simple o trivial. Pero por el párrafo anterior, al menos uno de estos factores es trivial, por lo que la serie refina a una composición de la serie de $N$ de la longitud en la mayoría de las $r-1$. Ahora el resultado se sigue por la inducción aplicada a $N$.